Monomios en términos de polinomios de Legendre

Question

¿Existe una expresión en forma cerrada para un monomio $x^m$ en términos de una suma de polinomios de Legendre $P_n(x)$?

$$ x^m = \sum_n a_n P_n(x) $$

¿Cómo puedo determinar los coeficientes $a_n$ en general?

Según esta pregunta (y aquí), la respuesta parece ser algo así como

$$ a_n = \frac{2n + 1}{2} \int_{-1}^1 x^m P_n(x) \,\mathrm{d}x $$

¿Cómo puedo usar la ortogonalidad para demostrar esto? ¿Se puede expresar la integral en forma cerrada?

Answer 1

Comience desde la definición de polinomios de Legendre a través de su función generadora:

$$\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n$$

Introducir la variable $s$ tal que

$$1 - ts = \sqrt{1-2tx + t^2} \iff x = \frac{1+t^2 - (1-ts)^2}{2t} = s + \frac{t}{2}(1-s^2) $$ Tenemos $\displaystyle\;\frac{dx}{\sqrt{1-2tx+t^2}} = \frac{1+t(-s)}{1-ts} ds = ds\;$ y por lo tanto

$$\sum_{n=0}^\infty t^n \int_{-1}^1 x^m P_n(x) dx = \int_{-1}^1 \frac{x^m dx}{\sqrt{1-2tx+t^2}} = \int_{-1}^1 \left(s + \frac{t}{2}(1-s^2)\right)^m ds $$ Al comparar los coeficientes de $t^n$ en ambos lados, encontramos los coeficientes definidos por $$a_{m,n} \stackrel{def}{=} \int_{-1}^1 x^m P_n(x) dx$$ se anula cuando $n > m$ y $m, n$ tienen paridad diferente. Cuando $n = m - 2k$ para algún entero $k$, tenemos

$$\begin{align} a_{m,m-2k} &= 2^{2k-m}\binom{m}{2k}\int_{-1}^1 s^{2k} (1-s^2)^{m-2k} ds = 2^{2k-m}\binom{m}{2k}\int_0^1 y^{k-\frac12} (1-y)^{m-2k} dy\\ &= 2^{2k-m}\binom{m}{2k}\frac{\Gamma(k+\frac12)\Gamma(m-2k+1)}{\Gamma(m-k+\frac32)} = \frac{m!}{2^{k-1}k!(2m-2k+1)!!} \end{align} $$ Junto con la relación de ortogonalidad $$\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1} P_\ell(x) P_\ell'(x) = \begin{cases}1,& \ell = \ell'\\0, & \text{ de lo contrario }\end{cases}$$

Encontramos para un entero $m$

$$x^m = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor} \left(\frac{2m-4k+1}{2}\right) a_{m,m-2k} P_{m-2k}(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{m!(2m-4k+1)}{2^k k!(2m-2k+1)!!}P_{m-2k}(x) $$