Espacio de operadores lineales al espacio de funciones bilineales

Question

Sea V un espacio euclidiano de dimensión finita con una base ortonomal ${e_1,..., e_n}$, equipado con un producto interno (función bilineal simétrica definitiva positiva) que se denota como $(\ ,\ )$. Mi libro Un Curso de Álgebra de Vinberg dice:

A cada vector $a \in V$, le corresponde la función lineal $\varphi_a(x)=(x,a)$ ...(algún argumento)... el mapa $a \mapsto \varphi_a$ es un isomorfismo canónico entre los espacios $V$ y $V^*$.

He entendido la declaración anterior, lo que me confundió son las siguientes declaraciones:

Similarmente, a cada operador lineal $\mathcal{A}$ en el espacio V, le corresponde una función bilineal $\varphi_{\mathcal{A}}(x,y)=(x,\mathcal{A}y)$ ...(algún argumento)... Se sigue que el mapa $\mathcal{A} \mapsto \varphi_{\mathcal{A}}$ es un isomorfismo del espacio de operadores lineales al espacio de funciones bilineales en V. Este isomorfismo no depende de la elección de una base.

Tengo dos preguntas:

1. ¿Qué significa la palabra "Similarmente"? ¿Existe una relación intrínseca entre las dos declaraciones?
2. ¿Por qué $\mathcal{A} \mapsto \varphi_{\mathcal{A}}$ también es un isomorfismo canónico?

De hecho, me pregunto si hay una "imagen global" (relación) en estas dos declaraciones?

Encontré una pregunta probablemente relacionada pero no pude razonar más función bilineal simétrica y operador lineal

Answer 1

1) El primer fragmento describe un isomorfismo $\varphi: V \overset{\sim}{\to} V^*$ enviando $a \mapsto \varphi_a$. El segundo describe un isomorfismo $\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Bil}{Bil} \Phi: \Hom(V,V) \overset{\sim}{\to} \Bil(V,F)$ enviando $A \mapsto \Phi_A = (\rule{7pt}{1pt} \, , A \rule{7pt}{1pt})$, donde $F$ es el campo base y $\Bil(V,F)$ es el conjunto de formas bilineales en $V$. Como se muestra en la publicación a la que enlazaste, $\Bil(V,F) \cong \Hom(V, V^*)$, por lo tanto tenemos $\Hom(V,V) \cong \Hom(V, V^*)$. Por lo tanto, realmente solo hemos aplicado $\Hom(V, \, \rule{7pt}{1pt})$ al isomorfismo dado en el primer fragmento.

Pero la conexión es aún más estrecha que eso. Dado un mapa lineal $\psi: U \to W$, aplicar $\Hom(V, \, \rule{7pt}{1pt})$ nos da un mapa $\psi_*: \Hom(V, U) \to \Hom(V, W)$ dado por $f \mapsto \psi \circ f$. (Esto es lo que significa ser un functor.) Aplicando $\Hom(V, \, \rule{7pt}{1pt})$ al isomorfismo $\varphi$, obtenemos el mapa $\varphi_*: \Hom(V,V) \to \Hom(V, V^*)$, $A \mapsto \varphi \circ A$. Dado $y \in V$, tenemos $$ \varphi_*(A)(y) = (\varphi \circ A)(y) = \varphi_{A(y)} = (\rule{7pt}{1pt} \, , A(y)) $$ por lo que $\varphi_*(A) = \Phi_A$ para todo $A \in \Hom(V,V)$. ¡Así que vemos que, bajo la identificación $\Hom(V,V^*) \cong \Bil(V,F)$, $\varphi_*$ es exactamente $\Phi$! Creo que esto califica a $\varphi$ y $\Phi$ como bastante similares.

2) No estoy seguro cuál parte de la afirmación es el problema. Supongo que el (algún argumento) que has omitido demuestra el isomorfismo, por lo que tal vez sea la parte "canónica". Ser canónico significa aproximadamente que es independiente de la elección de base, como se menciona en el pasaje citado. (También hay una noción más precisa de un mapa siendo natural.)