¿Cómo es que $1+ \tan^2x =\frac{1}{\cos^2x}$?

Question

No puedo ver por qué es cierto lo siguiente: $$1+ \tan^2x =\frac{1}{\cos^2x}$$ He investigado sobre el tema y estoy familiarizado con las razones recíprocas de cosec, sec y cot, pero no puedo entender cómo tiene sentido esta afirmación.

Cualquier ayuda sobre el tema sería muy apreciada.

Answer 1

Si ya sabes que:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

(Y hay muchos videos que muestran esto usando un círculo unitario: https://m.youtube.com/watch?v=o-fAx_96lgw)

Entonces no deberías tener problema en ver:

$$\tan^2+1=\frac{1}{\cos^2x}$$

Porque simplemente tomamos la primera ecuación y dividimos ambos lados por $\cos^2x$

Answer 2

Usando $\tan(x)=\frac {\sin x}{\cos x}$ y la identidad trigonométrica podrás encontrar el resultado deseado $$1+\tan^2x=\frac {\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac {1}{\cos^2x}$$

Answer 3

$$1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\Longleftrightarrow$$ $$\cos^2(x)\left(1+\tan^2(x)\right)=1\Longleftrightarrow$$ $$\cos^2(x)\left(1+\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2\right)=1\Longleftrightarrow$$ $$\cos^2(x)\left(1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\right)=1\Longleftrightarrow$$ $$\cos^2(x)+\frac{\cos^2(x)\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1\Longleftrightarrow$$ $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$

Answer 4

¿Cómo, exactamente, estás definiendo estas funciones? La forma más simple es en términos de un triángulo rectángulo en el que "$cos(\theta)$" se define como "longitud del lado cercano" (cateto más cercano al ángulo $\theta$) dividido por "la longitud de la hipotenusa" y $tan(\theta)$ se define como "longitud del lado opuesto dividido por la longitud del lado cercano". Si dejamos que "a" represente la longitud del "lado opuesto", b la longitud del "lado cercano", y c la longitud de la hipotenusa, entonces el teorema de Pitágoras dice $a^2 + b^2 = c^2$. Dividir ambos lados por $b^2$ para obtener $\frac{a^2}{b^2} + 1 = \frac{c^2}{b^2}$, $1 + \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \left(\frac{c}{b}\right)^2$ $1 + tan^2(\theta) = \frac{1}{cos^2(\theta)}$