¿Por qué estudiar espacios topológicos finitos?

Question

Al releer el ensayo de Thurston On Proof and Progress in Mathematics me encontré con este pasaje:

… esto significa que algunos conceptos que utilizo libre y naturalmente en mi pensamiento personal son extraños para la mayoría de los matemáticos con los que hablo. Mis modelos mentales personales y estructuras son similares en carácter a los tipos de modelos compartidos por grupos de matemáticos, pero muchas veces son modelos diferentes. En el momento de la formulación de la conjetura de geometrización, mi comprensión de la geometría hiperbólica era un buen ejemplo. Un ejemplo continuo al azar es una comprensión de los espacios topológicos finitos, un tema peculiar que puede ofrecer una buena visión sobre una variedad de preguntas, pero que generalmente no vale la pena desarrollar en ningún caso porque hay circunloquios estándar que lo evitan.

Al leer sus escritos uno rápidamente ve lo que quiere decir sobre lo único que era su forma de pensar acerca de la geometría hiperbólica. Me intriga más el comentario sobre los espacios topológicos finitos: soy consciente de que pueden proporcionar contraejemplos rápidos a algunas conjeturas ingenuas en la topología general/algebraica. También están claramente relacionados con la teoría de retículos, que son extremadamente útiles.

Pero aparte del espacio de Sierpinski (cuya importancia aprecio las razones de manera más fácil) y los ejemplos anteriores, ¿cómo se han utilizado los espacios topológicos finitos para ofrecer una visión sobre otras partes de las matemáticas? ¿Y cuáles serían algunos casos en los que se utilizaron 'circunloquios estándar' para evitarlos?

Answer 1

Comentario largo: Tenga en cuenta que un espacio topológico finito no es más que un preorden (orden, si la topología es $T_0$), dado por $x\leq y$ si $x\in \overline{\{y\}}$. Una relación de equivalencia en un espacio topológico, por ejemplo, al considerar las órbitas de una acción de grupo, da lugar a un espacio cociente, que se dota naturalmente de la topología cociente, que es equivalente a un preorden en el caso de que haya un número finito de órbitas. Un buen ejemplo para tener en mente es la acción de un subgrupo de Borel $B$ en el espacio cociente $G/B$, donde $G$ es un grupo semisimple. Entonces el espacio cociente se podría identificar con el grupo de Weyl correspondiente, mediante la descomposición de Bruhat, que de esta manera se dota de un orden, que es el orden de Bruhat.

Answer 2

Como señala la respuesta de Uri Bader, los espacios topológicos finitos son equivalentes a conjuntos parcialmente ordenados (posets). Ahora, los combinatoristas interesados en la topología de posets finitos estudian comúnmente el complejo simplicial formado por todos los subconjuntos totalmente ordenados. Aunque estas dos topologías en un poset no son exactamente iguales, McCord (Grupos de homología singular y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos) demostró que hay una equivalencia de homotopía débil entre las dos. Por lo tanto, el estudio de la homotopía y homología de posets finitos, que conforman una gran clase de complejos simpliciales finitos, es realmente el estudio de espacios topológicos finitos.

Para más información, consulte el capítulo de Björner sobre Métodos topológicos en combinatoria en el Manual de combinatoria.

Answer 3

Cualquier complejo simplicial finito es débilmente equivalente homotópicamente a un espacio topológico finito y viceversa: ¿Son los espacios finitos un modelo para complejos CW finitos?

Por lo tanto, cuando se trata de calcular los grupos de homotopía de espacios finitamente triangulados, realmente no hay pérdida de generalidad.

Uno podría intentar dibujar como ejercicio un espacio topológico finito que tenga los mismos grupos de homotopía que la 2-esfera: será un conjunto de cardinalidad $14$, a saber, el poset (orden dado por inclusión) de todos los símplices del borde del $3$-simplejo con la topología de orden.

Answer 4

Impulsado por el mismo fragmento, le pregunté a Bill Thurston en 2011:

¿Puede indicarme algún lugar donde pueda leer acerca de algunos de sus modelos mentales y estructuras en relación con espacios topológicos finitos?

Su respuesta fue la siguiente:

En cuanto a la topología finita: realmente no conozco una buena fuente para leer al respecto. Sin embargo, en combinatoria es estándar hablar sobre la topología asociada con un conjunto parcialmente ordenado (poset), que es realmente lo mismo: a partir de un orden finito, se obtiene un orden parcial diciendo $x > y$ si la clausura del punto $x$ contiene el punto $y$, y viceversa, a partir de un conjunto parcialmente ordenado, se obtiene una topología cuyos conjuntos abiertos son los ideales de orden $U_y = \{ x \mid x \ge y \}$. A menudo, la gente va directamente de eso a una especie de realización, análoga a la realización de un complejo simplicial o un conjunto simplicial --- la realización de un poset finito se puede definir recursivamente por (a) la realización de un punto cerrado es un punto, y (b) la realización del menor conjunto cerrado $V_x$ que contiene a $x$ es el cono sobre la realización de $V_x \smallsetminus {x}$. Puede asociar con cada punto en la topología finita el cono abierto correspondiente en su realización; la topología finita es entonces el espacio cociente de su realización obtenido colapsando cada uno de estos conos abiertos contractibles a un punto. Como consecuencia, la topología finita tiene el mismo tipo de homotopía débil que su realización.

Answer 5

¿Y cuáles serían algunas instancias donde se utilizan "circunloquios estándar" para evitarlos?

Por ejemplo, se puede definir la contractibilidad y la compacidad (para espacios metrizables) en términos de mapas de espacios topológicos finitos y la ortogonalidad de morfismos (ver ejemplos en la sección sobre espacios topológicos en Ncatlab, Propiedad de levantamiento). Tal vez las palabras de Thurston se apliquen a estos ejemplos: estas reformulaciones podrían "aportar una buena visión a una variedad de cuestiones" en topología "pero generalmente no vale la pena desarrollarlo en [este] caso porque existen circunloquios estándar que lo evitan", es decir, estos circunloquios estándar son la teoría estándar de la contractibilidad y la compacidad en cualquier libro de texto.