¿Es posible "ordenar" una función continua?

Question

Me motivé por esta pregunta mientras buscaba un nuevo algoritmo de ordenamiento.

Supongamos que se nos da una función continua $f : [a, b] \to \mathbb{R}$. Quería definir la versión ordenada $g$ de $f$, que debería cumplir las siguientes propiedades:

• $g$ aumenta de manera monótona
• $g(a)$ es el mínimo global de $f$
• $g(b)$ es el máximo global de $f$

Y eventualmente llegué a la siguiente ecuación: $$ \int_a^x g = \int_{\{y : f(y) \leq g(x)\}} f $$

Intenté construir $g$ a partir de $f$ explícitamente. Argumento simple: Dado que $\{y : f(y) \leq g(x)\}$ es un subconjunto cerrado del conjunto compacto $[a, b]$, es la unión de algunos intervalos cerrados (y posiblemente algunos puntos aislados), digamos $[a_1(x) = a, b_1(x)], [a_1(x), b_1(x)], \cdots, [a_n(x), b_n(x) = b]$. Eso nos da la siguiente ecuación: $$ \int_a^x g = \sum_{k=1}^n\int_{a_k(x)}^{b_k(x)} f $$

Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación anterior, obtengo esto: $$ g(x) = \sum_{k=1}^n (f(b_k(x)) \cdot b_k'(x) - f(a_k(x)) \cdot a_k'(x)) $$

Por definición de $a_k$ y $b_k$, $f \circ a_k = f \circ b_k = g$, y por lo tanto: $$ g(x) = \sum_{k=1}^n (g(x) \cdot b_k'(x) - g(x) \cdot a_k'(x)) = \sum_{k=1}^n g(x) (b_k'(x) - a_k'(x)) = g(x) \sum_{k=1}^n (b_k'(x) - a_k'(x)) $$

...lo cual no aporta ninguna información sobre $g$. ¿Significa esto que esta ecuación está mal determinada? ¿Tiene sentido "ordenar" una función?

Answer 1

Creo que lo que quieres es la reordenación no decreciente de $f$ en el intervalo $[a,b]$, que puede definirse como $$g(x)=\inf\{t :m(\{s \in [a,b]:f(s)>t\})\le x-a\}$$ donde $m$ es la medida de Lebesgue.

Answer 2

Creo que para hacer esto correctamente, necesitamos cuantificar la cantidad de "cosas" en cada nivel de altura. Intuitivamente, una pendiente mayor (definida como el valor absoluto de la pendiente) debería corresponder a menos cosas, ya que pasamos menos tiempo en el valor relevante. Por ejemplo, si pasamos por una cierta altura muy rápidamente, entonces en cierto sentido hay menos entradas alrededor de ese nivel. A la luz de esto, argumentaría que $\mathrm{sorted}(f)$ debería estar definido como la función única creciente, diferenciable $g$ con el mismo rango que $f$ tal que para todo $y$ en este rango, el valor $g'(g^{-1}(y))$ está de alguna manera relacionado con el multiconjunto $|f'(f^{-1}(y))|.$ Intuitivamente, podemos decir que el doble de la pendiente significa la mitad de las cosas. El triple de la pendiente significa un tercio de las cosas, etc. Por lo tanto, el recíproco de la pendiente parece ser la medida correcta de la cantidad de "cosas". Ergo la fórmula $$\frac{1}{g'(g^{-1}(y))} = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \frac{1}{|f'(x)|}$$ parece ser la restricción correcta en $g = \mathrm{sorted}(f)$. Para la singularidad, probablemente también deberíamos asumir $$\mathrm{inf}(\mathrm{dom}(f)) = \mathrm{inf}(\mathrm{dom}(g)), \qquad \mathrm{sup}(\mathrm{dom}(f)) = \mathrm{sup}(\mathrm{dom}(g)).$$ Por ejemplo, si $f(x) = \sqrt{1-x^2}, x \in [-1, 1]$, entonces $g(x) = \sqrt{1-(\frac{x-1}{2})^2}, x \in [-1, 1]$ debería tener las propiedades deseadas. No sé cómo (o si) esto encaja con la respuesta de Robert Israel.

Buena pregunta, por cierto.

Answer 3

Toma un punto en el eje $y$. Llámalo $y_0$. Ahora expande ese punto a un intervalo que va desde $y_0$ hasta $y_0+\Delta y$. Luego dibuja dos líneas horizontales, una en $y_0$ y otra en $y_0+\Delta y$. Ahora mira dónde está la función dentro de esa banda. Luego marca cuánto del eje $x$ cubre esa porción de la función. En otras palabras, mira "cuántos" valores de $x$ cubre un cambio de $\Delta y$. Luego toma la proporción de esto respecto al tamaño del cambio. Luego toma el límite a medida que este cambio tiende a cero.

En otras palabras, tenemos $\lim_{\Delta y \rightarrow 0}m(\{x: y_0.

Esto produce un valor diferente para cada $y_0$, y representa en cierto sentido cuán "densos" son los valores de $y$. De hecho, una interpretación es como una densidad de probabilidad: si $x$ se elige al azar de $[a,b]$, esto da la densidad de probabilidad para que $f(x)$ sea un valor particular.

Entonces, si deseas una versión "ordenada" de $f$, querrías una función que sea estrictamente creciente y que tenga la misma función de densidad que $f$. Demostrar que esto existe y es único no es trivial, pero dado eso, eso te da la función deseada.