Serie de términos positivos

Question

Quiero demostrar que $\displaystyle 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}+\cdots$ converge. Sé que al usar el criterio de la razón de D'Alembert puedo demostrar fácilmente que esta serie converge, pero lo estoy haciendo de esta manera: \begin{align*} s_{n}&=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{2(n-1)!}\\ &<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2n-3}}(\because \frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}},\forall k\geq 2)\\ &=1+\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\cdots+\frac{1}{2^{2n-4}}] \end{align*}Pero conforme $n\to\infty$ el lado derecho de la ecuación anterior se convierte en $$ 1+\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{5}{3}.$$ Por lo tanto, tenemos $s_n\leq \frac{5}{3}$. Así que la serie de términos positivos dada es tal que $(s_n)$ está acotada por encima, por lo tanto, es convergente. ¿Estoy en lo correcto o cometiendo algún error? ¡Por favor sugiéreme!

Answer 1

Tu prueba es correcta: las sumas parciales son monótonamente crecientes y acotadas por arriba, por lo tanto convergen (y por ende lo hace la serie también).

Aunque pueda superar tu conocimiento actual, la serie infinita que has dado converge a $$\frac{1 + e^2}{2e}$$

lo cual se puede demostrar usando la serie de Taylor para el coseno hiperbólico (cosh $x$).

Answer 2

Sí, estás haciendo lo correcto. La técnica que utilizaste, es decir, acotar superiormente cada término en la secuencia por un término mayor se conoce como prueba de comparación. Mira aquí para más detalles

Answer 3

Tal vez puedas compararlo con exp(1). Considerarías que el término de tu serie es a2n = 1/(2n!) , a2n+1 = 0. Obviamente para cada k, ak<=1/(k!) y por lo tanto tu serie converge y su suma es menor que exp(1).