Es bien sabido que cualquier biyección $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ no puede ser continua. Pero supongamos que tenemos los dos espacios $A = \{f(x):\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R} \}$ y $B = \{f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \}$ y un mapeo entre ellos $A \xrightarrow{\phi} B$. (quizás agregando condiciones de regularidad en las funciones en $A,B$ para que sean espacios de Hilbert o Banach y la continuidad se pueda definir para $\phi$). La pregunta es, ¿puede $\phi$ ser a la vez continua y biyectiva?
Esta pregunta está inspirada en intentar invertir la transformación de Radón para campos tensoriales, como en https://arxiv.org/pdf/1311.6167.pdf, pero se puede formular fuera de este contexto.
EDIT: Las condiciones que quiero en $A,B$ deberían ser espacios de funciones continuamente diferenciables, o incluso más fuertes como funciones analíticas, equipadas con alguna norma $L^p$. Estas condiciones de regularidad son para modelar algo como la transformación de Radón o tensor en el sentido de asegurar que pequeñas perturbaciones en los datos conduzcan a pequeñas perturbaciones en las reconstrucciones.
