Deje que $G$ sea un grupo finito. Si $A$ es un grupo de automorfismos de $G$, ¿el subgrupo $[G,A]$ es un subgrupo normal $A$-invariante en $G`?

Question

Por definición, $$[G,A] = \big<[g,\alpha] = g^{-1}g^\alpha; g \in G, \alpha \in A \big>.$$ Para la parte de normalidad, para cualquier $x \in G$ tenemos que $[g,\alpha]^x = (g^{-1}g^\alpha)^x = (g^x)^{-1}g^{\alpha x}$ y no sé si pertenece a $[G,A]$.

Para la parte invariante de A, sea $\beta \in A$, $[g,\alpha]^\beta = (g^{-1}g^\alpha)^\beta = (g^\beta)^{-1}g^{\alpha \beta}$ ¿pertenece a $[G,A]$?

Answer 1

Toma el producto semidirecto $H=GA$ de $G$ (normal) y $A$. Luego $[G, A]=[G, H]$ que es de hecho un subgrupo normal de $H$ dentro de $G$.