He estado atascado en un problema y me preguntaba si alguien podría ayudarme. Estoy tratando de resolver el siguiente problema de divergencia explícitamente para $\vec{A}$
$$\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} \tag{1}$$
donde $\nabla = (\partial_{x}, \partial_{y})$ y $\phi$ (y por lo tanto $\vec{A}$) es periódica en el espacio. Me preguntaba si había una factorización 'bonita' del RHS de manera que se pueda escribir en la forma $\nabla \cdot \vec{\Phi}$? Dudo que exista, ya que
$$\nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} = -(\nabla^{2} \phi)^{2} \nabla \cdot \left( \frac{\nabla \phi}{\nabla^{2} \phi} \right) \tag{2}$$
donde el cociente debe interpretarse como una división elemento por elemento y el RHS de $(2)$, hasta donde puedo ver, no tiene una factorización adicional que lo ponga en la forma que busco. Por supuesto, podría simplemente definir
$$\vec{A} = (A_{1},A_{2}) = \left(c \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dx, \ (1 - c) \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dy \right)$$
para algún $c \in \mathbb{R}$, lo cual satisfaría $(1)$. Sin embargo, esperaba encontrar una simplificación agradable sin integrales. También podemos notar que los primeros términos en el RHS de $(1)$ pueden interpretarse como $\mathcal{L}_{\nabla \phi} \nabla^{2} \phi$, la derivada direccional de $\nabla^{2} \phi$ en la dirección de $\nabla \phi$. Aunque no estoy seguro de que esto sea de mucha utilidad.
También, si alguien más ha visto el RHS de $(1)$ en otros contextos, por favor avísenme.
Gracias.
