Solución en forma cerrada a una condición de divergencia

Question

He estado atascado en un problema y me preguntaba si alguien podría ayudarme. Estoy tratando de resolver el siguiente problema de divergencia explícitamente para $\vec{A}$

$$\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} \tag{1}$$

donde $\nabla = (\partial_{x}, \partial_{y})$ y $\phi$ (y por lo tanto $\vec{A}$) es periódica en el espacio. Me preguntaba si había una factorización 'bonita' del RHS de manera que se pueda escribir en la forma $\nabla \cdot \vec{\Phi}$? Dudo que exista, ya que

$$\nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} = -(\nabla^{2} \phi)^{2} \nabla \cdot \left( \frac{\nabla \phi}{\nabla^{2} \phi} \right) \tag{2}$$

donde el cociente debe interpretarse como una división elemento por elemento y el RHS de $(2)$, hasta donde puedo ver, no tiene una factorización adicional que lo ponga en la forma que busco. Por supuesto, podría simplemente definir

$$\vec{A} = (A_{1},A_{2}) = \left(c \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dx, \ (1 - c) \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dy \right)$$

para algún $c \in \mathbb{R}$, lo cual satisfaría $(1)$. Sin embargo, esperaba encontrar una simplificación agradable sin integrales. También podemos notar que los primeros términos en el RHS de $(1)$ pueden interpretarse como $\mathcal{L}_{\nabla \phi} \nabla^{2} \phi$, la derivada direccional de $\nabla^{2} \phi$ en la dirección de $\nabla \phi$. Aunque no estoy seguro de que esto sea de mucha utilidad.

También, si alguien más ha visto el RHS de $(1)$ en otros contextos, por favor avísenme.

Gracias.

Answer 1

El problema tal como lo escribiste no tiene soluciones a menos que $\phi\equiv c$. Observa que tendríamos $$\text{div} A=\text{div}(\Delta\phi\nabla\phi)-2(\Delta\phi)^2.$$ Dado que tu espacio no tiene borde, podemos promediar y encontrar $$\int_{\mathbb T^d}(\Delta\phi)^2=0$$ y concluimos.

Si resuelves este problema, por ejemplo, restando el promedio del lado derecho, tendrás un espacio de soluciones de dimensión infinita. En este punto, invertir la divergencia en varios espacios es un problema bien estudiado, consulta por ejemplo aquí.