Demostrando que cada conjunto abierto en el espacio métrico $X$ es la unión de una subcolección de base

Question

Rudin PMA p.45 problema 23

Una colección $\{V_\alpha\}$ de subconjuntos de $X$ se dice que es una base para $X$ si se cumple lo siguiente: Para cada $x\in X$ y cada conjunto abierto $G\subset X$ tal que $x\in G$, $x\in V_\alpha \subset G$ para algún $\alpha$. "En otras palabras, cada conjunto abierto en X es la unión de una subcolección de $\{V_\alpha\}$."

No entiendo por qué esas dos afirmaciones son equivalentes.

Sea $G$ un conjunto abierto. Sea $I=\{\alpha | (\exists x\in G) x\in V_\alpha \subset G\}$. Entonces, por la primera definición, $G\subset \bigcup_{\alpha \in I} V_\alpha$.

No entiendo por qué $V_\alpha \cap G \in \{V_\alpha\}$. (Creo que esto es clave para demostrar la equivalencia)

Answer 1

• (1) Para todo $x\in X$ y cada conjunto abierto $G\subset X$ tal que $x\in G$, $x\in V_\alpha \subset G$ para algún $\alpha$.

• (2) Cada conjunto abierto en $X$ es unión de una subcolección de $\{V_\alpha\}$.

Estás preguntando sobre (2) $\Rightarrow$ (1), ¿verdad?

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Si $G\subset X$ es abierto, entonces por (2) existe un conjunto $I$ tal que $G=\bigcup_{\alpha\in I} V_\alpha

.

Claramente, para cada $\alpha\in I$ tenemos $V_\alpha\subseteq G$. (La unión de un sistema contiene todos los conjuntos de ese sistema.)

De la igualdad $G=\bigcup_{\alpha\in I} V_\alpha$ vemos que cada $x\in G$ está contenido en $V_\alpha$ para algún $\alpha\in I$ (simplemente por definición de unión).

Por lo tanto, para cada $x$ tenemos un $\alpha\in I$ tal que:

• $x\in V_\alpha$

• $V_\alpha\subseteq G

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También preguntaste:

No entiendo por qué $V_\alpha \cap G \in \{V_\alpha\}$.

Esto no es cierto en general. Es decir, la intersección de un conjunto básico y un conjunto abierto no tiene por qué ser un conjunto básico.

Por ejemplo, los intervalos con extremos racionales forman una base para la recta real con la topología usual.

El conjunto $G=(0,\sqrt2)$ es abierto. Pero la intersección de $G$ con un conjunto básico no necesariamente es un conjunto básico, por ejemplo, toma $G\cap(1,2)=(1,\sqrt2)$.

Por supuesto, $V_\alpha\cap G=V_\alpha$ siempre que $V_\alpha\subseteq G$. (Lo cual probablemente era lo que querías usar.)