Teorema 29.2. Sea $X$ un espacio de Hausdorff. Entonces $X$ es localmente compacto si y solo si dado $x \in X$, y dado un entorno $U$ de $x$, existe un entorno $V$ de $x$ tal que $\overline{V}$ es compacto y $\overline{V} \subseteq U$.
Prueba: Claramente esta nueva formulación implica compacidad local; el conjunto $C = \overline{V}$ es el conjunto compacto deseado que contiene un entorno de $x$. Para probar la recíproca, supongamos que $X$ es localmente compacto, sea $x$ un punto de $X$ y sea $U$ un entorno de $x$. Tomemos la compactificación de un punto $Y$ de $X$, y sea $C$ el conjunto $Y - U$. Entonces $C$ es cerrado en $Y$, de modo que $C$ es un subespacio compacto de $Y$. Aplicando el Lema 26.4 para elegir conjuntos abiertos disjuntos $V$ y $W$ que contienen a $x$ y a $C$, respectivamente. Entonces el cierre $\overline{V}$ de $V$ en $Y$ es compacto, además, $\overline{V}$ es disjunto de $C$, por lo que $\overline{V} \subset U$, como se desea.
No entendí cómo exactamente el hecho de que los conjuntos abiertos disjuntos $V$ y $W$ que contienen a $x$ y a $C$, respectivamente, implican que el cierre $\overline{V}$ de $V$ en $Y$ sea compacto, ¿alguien puede ayudarme? ¡Gracias de antemano!
