La sabiduría del libro de texto en electromagnetismo te dice que no hay una carga eléctrica total en una variedad compacta. Por ejemplo, considera el espacio-tiempo de la forma $\mathbb{R} \times M_3$ donde el primer factor es el tiempo. Se define la carga total como $Q(M_3) = \int_{M_3} \star j$ donde $d\star F = \star j$ es la corriente eléctrica. Si $M_3$ no tiene frontera (por ejemplo, si es compacto) se puede usar el teorema de Stokes para argumentar que $$ Q(M_3) = \int_{M_3} d\star F = \int_{\partial M_3} \star F = 0.$$
Me pregunto qué sucede para variedades de cuatro dimensiones generales $M_4$, especialmente en el caso en que el tercer número de Betti es cero (de lo contrario simplemente se puede integrar sobre un ciclo tridimensional). ¿Existe una manera sensata de definir la carga en el sentido anterior? ¿Se puede argumentar que debe desaparecer si $\partial M_4 = 0$?
