¿Por qué los números complejos se prestan a la rotación?

Question

En el curso introductorio de análisis complejo que estoy tomando, casi cada teorema se relaciona con rotación y argumento. ¿Por qué a los números complejos les gusta tanto hacer esto? Puedo entender por qué estos teoremas funcionan; sin embargo, aparte del conocimiento básico de coordenadas polares, no entiendo intuitivamente qué propiedad de los números complejos hace que la rotación y el ángulo sean una idea tan común/conveniente.

Answer 1

Observa que, al hacer cálculos simples con i, obtenemos lo siguiente: $$(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)+i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)).$$ De trigonometría, aprendemos que $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$ y $$\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)-\sin(a)\cos(b),$$ por lo tanto $$(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))=\cos(a+b)+i\sin(a+b).$$ Al final, realmente es solo una hermosa coincidencia que la raíz cuadrada de -1 nos permita relacionar la multiplicación de puntos con la adición de ángulos.

Answer 2

La respuesta más esclarecedora es considerar la perspectiva del álgebra geométrica; viendo las rotaciones en el plano como bireflexiones sobre líneas, y observando que el producto geométrico de dos líneas te da un objeto que es algebraicamente isomorfo a un número complejo. Esta vista también se extiende naturalmente a dimensiones y firmas arbitrarias, permitiéndote generalizar esa perspectiva a cuaterniones y biquaterniones y más allá.

Answer 3

En lugar de preguntar "¿por qué es especial la rotación en el plano complejo?", empecemos por preguntarnos "¿cómo pueden representarse las rotaciones en el plano complejo?"

La propiedad única de un vector unitario que rota en sentido contrario a las agujas del reloj a velocidad unitaria es que, en todo momento, su vector de velocidad es simplemente él mismo rotado 90° hacia la izquierda. En el plano complejo, girar un vector 90° hacia la izquierda se logra convenientemente multiplicando por $i$

Por lo tanto, en todo momento, la rotación satisface la ecuación diferencial:

$$x'(t) = i * x(t)$$

Una solución a esto (con la condición inicial apropiada) es $x(t) = e^{it}$.

Por lo tanto, en el plano complejo, la exponenciación a una potencia imaginaria es una rotación. Y dado que la exponenciación es fácil de trabajar en muchos casos (especialmente en temas relacionados con el Cálculo), eso hace que los números complejos sean una herramienta conveniente al tratar con rotaciones.

Answer 4

Es una contribución breve, pero quería añadir un aspecto que las otras respuestas no tocaron. Uno de los antiguos nombres para los números imaginarios era números laterales, y creo que es un nombre mejor para ellos. El nombre simplemente perdió en el transcurso de la historia. Las otras respuestas explican bien por qué son adecuados. Mi punto es que el nombre que usamos no es adecuado. Si preguntaras "¿por qué los números laterales están asociados con la rotación?", podrías haber intuido la respuesta tú mismo. Sin mencionar que "imaginario" añade confusión y factor miedo a los estudiantes que se introducen al término, y una sensación de que los números son falsos, incluso aunque los llamados "números reales" son invención completamente humana también. Puedes contar números enteros de cosas, puedes deber números enteros de cosas, puedes decir que cinco átomos de una manzana es un número racional, pero los números reales son necesarios para completar los espacios necesarios para cosas más abstractas, como la proporción de la circunferencia al diámetro de un círculo, y las soluciones a algunas ecuaciones polinómicas. No hay nada que puedas ver o medir tangiblemente que realmente requiera infinitos dígitos significativos para describir. Ellos (los números reales que no están incluidos en los racionales) aparecen estrictamente en acertijos que inventamos en nuestras mentes, entonces ¿por qué alguien debería decir que son más reales que los llamados números imaginarios?