En mis apuntes tengo escrito que el operador diferencial $Tf(x) = f'(x)$ definido en $C^1[0,1]$ no puede extenderse a un operador cerrado en todo $L^2[0,1]$, aunque no recuerdo por qué. ¿Es solo que si este fuera el caso, entonces por el teorema del grafo cerrado $T$ sería acotado, pero el operador diferencial no es acotado? El problema con esta explicación es que $T$ no está acotado en la norma supremo en $C^1$, mientras que el teorema del grafo cerrado sugeriría que $T$ está acotado en la norma $L^2$, lo cual no estoy seguro si es una contradicción.
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Stefan Lafon
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Puedes aproximar la función escalón ${\mathbb 1}_{x>\frac 1 2}$ con una secuencia de funciones continuas utilizando una aproximación lineal por partes $f_n$ en los puntos de interpolación $0$, $\frac 12-\frac 1n$, $\frac 12$ y $1$. No te preocupes por que esas funciones tengan unos cuantos puntos donde la derivada es discontinua. No cambia ni afecta el resultado. Puedes convencerte de que podrías cambiar ligeramente esas funciones para obtener funciones $C^1$.
Esa secuencia está acotada en ambas normas $L^2$ y $L^{\infty}$.
Puedes mostrar que la norma $L^2$ de $Tf_n$ crece como $\sqrt{n}$ (y la norma $L^{\infty}$ crece como $n$).
Editar: si te molesta que las aproximaciones lineales por partes no sean continuamente diferenciables, puedes usar $$f_n(x)= \text{arctanh}\left( n\left (x-\frac 12\right ) \right) $$
