Pensé que agregaría algunos detalles menores al gran comentario de SBF, viendo que hay confusión entre algunos lectores.
Consideremos el experimento aleatorio (RE) que propuso John. Aquí estamos lanzando una moneda indefinidamente y registrando el lado que queda hacia arriba. Entonces nuestro espacio muestral $\Omega$ debería ser el conjunto de todas las secuencias de $H$ y $T$. Es decir, $$\Omega = \left\{\omega \,\middle|\, \omega : \mathbb{N}\to\{H, T\} \right\}$$ Para un resultado dado del RE (una secuencia de $H$ y $T$), si el lanzamiento $i^\text{th}$ ($i\in\mathbb{N}$) cae en cara/cruz entonces podemos definir $X_i$ como $H,T$ respectivamente. Es decir, $$X_i : \Omega\to\{H,T\},\quad X_i(\omega)=\begin{cases} H, & \omega(i) = H \\ T, & \omega(i)= T \end{cases}$$ Dadas estas definiciones, $\sigma(X_1)=\{\emptyset, \Omega, X_1^{-1}(H), X_1^{-1}(T) \}$ donde $X_1^{-1}(H)$ es el evento que contiene todos los resultados que tuvieron su primer lanzamiento en $H$. Llegamos a poner una condición en el primer lanzamiento. Es decir, $$X_1^{-1}(H)=\left\{\omega : \mathbb{N}\to\{H, T\} \,\middle|\, \omega=H\dots \right\}=\left\{\omega : \mathbb{N}\to\{H, T\} \,\middle|\, \omega(1)=H\right\}$$ y de manera similar para $X_1^{-1}(T)$. Esto debería aclarar la Q2 ya que para $i\ne j$, $$X^{-1}_i(H)\ne X^{-1}_j(H) \ne X^{-1}_i(T) \ne X^{-1}_j(T)$$ lo que significa que los eventos nunca coinciden. Como tal, $$\bigcup_{i=1}^\infty \sigma(X_i)=\bigcup_{i=1}^\infty\{\emptyset, \Omega, X_i^{-1}(H), X_i^{-1}(T) \}\ne \{\emptyset,\Omega,\{H\},\{T\}\}$$ como uno podría sospechar.
En cuanto a la Q1, $\sigma(X_1, X_2)$ (denotado como $\mathcal{F}_2$) es el álgebra $\sigma$ creada a partir de eventos en $\sigma(X_1)$ y $\sigma(X_2)$ mediante la intersección y unión. Esto significa que $\mathcal{F}_2$ contiene todos los eventos en los que se pueden poner condiciones en el primer y segundo lanzamiento. Por ejemplo, contiene el evento en el cual todos los resultados tuvieron su primer y segundo ensayos como $HH$, representado por $X^{-1}_1(H)\cap X^{-1}_2(H)$. También contiene el evento en el cual todos los resultados que tienen al menos $T$ en el primer ensayo o $H$ en el segundo ensayo, representado por $X^{-1}_1(T)\cup X^{-1}_2(H)$. Y así sucesivamente, uno puede enloquecer con eso. De manera similar, $\mathcal{F}_k$ será el álgebra $\sigma$ que contiene eventos en los que se pueden colocar condiciones en los primeros $k$ lanzamientos, $k\in\mathbb{N}$.
Para la Q3, uno puede ver que $\sigma(X_1,X_2) = \sigma(Y)$ donde $Y=(X_1, X_2)$ ya que por ejemplo, $Y^{-1}(H,T)=X_1^{-1}(H)\cap X_2^{-1}(T)$. En general, la igualdad $\sigma(X_1,\dots,X_k) = \sigma(Y)$ donde $Y=(X_1, \dots, X_k)$ sigue siendo válida y proviene del hecho de que $f(x_1, \dots, x_k)$ es realmente la misma función que $f((x_1, \dots, x_j), (x_{j+1}, \dots, x_k))$ donde $j=1, \dots, k-1$.
