El $n$th catalán número puede ser escrito en términos de factoriales como $$ C_n = {(2n)! \(n+1)! n!}. $$ Podemos reescribir esto en términos de funciones gamma, para definir el catalán números complejos a $z$: $$ C(z) = {\Gamma(2z+1) \\Gamma(z+2) \Gamma(z+1)}. $$ Esta función es analítica, excepto donde $2n+1, n+2$ o de $n+1$ es un valor no positivo entero, es decir, en $n = -1/2, -1, -3/2, -2, \ldots$.
En $z = -2, -3, -4, \ldots$, y el numerador de la expresión para $C(z)$ tiene un polo de orden 1, pero el denominador tiene un polo de orden $2$, entonces $\lim_{z \n} C(z) = 0$.
En $z = -1/2, -3/2, -5/2, \ldots$, el denominador es sólo un número real y el numerador tiene un polo de orden 1, por lo que $C(z)$ tiene un polo de orden $1$.
Pero en $z = -1$: - $\Gamma(2z+1)$ tiene un polo de orden $1$ con residuos de $1/2$; - $\Gamma(z+2) = 1$; - $\Gamma(z+1)$ tiene un polo de orden $1$ con residuos de $1$. Por lo tanto $\lim_{z \a -1} C(z) = 1/2$, por lo que podríamos decir que los $-1$st catalán número es de $-1/2$.
Hay una interpretación de este hecho en términos de cualquiera de los innumerables objetos combinatorios contado por el catalán números?
