Una integral trigonométrica interesante

Question

Ayer participé en una competencia de ingreso a uno de los programas de Máster en mi universidad, y durante una de las pruebas matemáticas, tuve que resolver algunas ecuaciones integrales y diferenciales.

Una de esas integrales tenía la siguiente forma trigonométrica: $$ I(0,\pi)= \int\limits_0^\pi\left[\cos^2(\cos(x))+\sin^2(\sin(x))\right]dx $$ Desafortunadamente, no pude resolverla analíticamente durante la prueba, pero más tarde, al llegar a casa, intenté evaluarla numéricamente usando Mathematica. Resultó que la respuesta parece ser $I(0,\pi)=\pi$.

Aun así, no entiendo qué transformaciones o sustituciones debía realizar para resolver este problema analíticamente durante el examen. Esta es precisamente la razón por la que estoy publicando mi pregunta aquí, ya que hasta ahora no he encontrado este tipo de problema publicado o resuelto en ningún lugar, por lo que solicito amablemente cualquier ayuda para intentar esta integral de manera analítica.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sea: $$I(a,b)=\int^{\pi}_{0}\cos^2(a\cos(x))+\sin^2(b\sin(x))dx$$ tenemos: $$\frac{\partial I}{\partial a}=2\int^{\pi}_0 \sin(x)\sin(a\cos(x))dx\overset{t=\pi/2-x}{=}2\int^{\pi/2}_{-\pi/2}\cos(x)\sin(a\sin(x))dx=0$$ Por lo tanto: $$I(a,b)=C(b)\implies \frac{\partial I}{\partial b}=C'(b)=2\int^{\pi}_0 \cos(x)\cos(b\sin(x))dx\overset{t=\pi/2-x}{=}2\int^{\pi/2}_{-\pi/2}\sin(x)\cos(b\cos(x))dx=0$$

Por lo tanto: $$I(a,b)=c $$ tenemos: $$I(0,0)=\pi \implies I(a,b)=\pi$$

Por lo tanto: $$I(1,1)=\int^{\pi}_{0}\cos^2(\cos(x))+\sin^2(\sin(x))dx=\pi$$