Demuestra que en $\mathbb{R}^2$
$$\overline{B_1((0,0))}=\{x\in \mathbb{R}^2:d_2(x,0) \leq 1\}$$
donde
$$d_2 (x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$$
Respuestas
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Alexandros
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Creo que la pregunta está pidiendo que muestres que la clausura de la bola abierta es la bola cerrada, lo cual no es un ejercicio trivial.
Esto podría no ser el caso todo el tiempo, por ejemplo si tomas $X$ como cualquier conjunto con la métrica discreta, entonces la bola abierta alrededor de $x$ es un singleton $\{x \}$, que es un conjunto cerrado, así que su clausura es la misma.
La bola cerrada, sin embargo, es todo el conjunto $X$.
Sin embargo, en el espacio métrico euclidiano $\mathbb{R}^n$, es cierto.
Denotaré $\{x \in \mathbb{R}^2: d_2(x,0) \leq 1\}$ como $A$ en esta respuesta.
Por definición,
$$B_1((0,0))=\{x\in\mathbb{R}^2: d_2(x,0) < 1\}$$
Para encontrar su cierre, sea $a \in \overline{B_1((0,0))}$. Por lo tanto, existe una secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ en $B_1((0,0))$ tal que $\lim_{n\to\infty}a_n=a$. Para cada $a_n$, tenemos que
$$d_2(a_n,0) < 1 $$
Tomando el límite de ambos lados y notando que $d_2(x,y)$ es continua, podemos escribir
$$\lim_{n\to\infty}d_2(a_n,0) =d_2(\lim_{n\to\infty}a_n,0)\leq 1 $$ $$d_2(a,0) \leq 1$$
Esto muestra que $\overline{B_1((0,0))} \subseteq \{x \in \mathbb{R}^2: d_2(x,0) \leq 1\}=A$. A la inversa, para demostrar la otra dirección, sea $x \in A$, entonces o bien $d(x,0) < 1$ o $d(x,0) = 1$. El primer caso implica que $x \in B_1((0,0)) \subseteq \overline{B_1((0,0))}$.
En el último caso, considera $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ como la secuencia $a_n=(1-\frac{1}{n})x$. Puedes ver fácilmente que $$\forall n\in\mathbb{N}: d_2(a_n,0)=(1-\frac{1}{n})d_2(x,0) \leq 1 - \frac{1}{n} < 1$$ Por lo tanto, $a_n \in B_1((0,0))$ y $\lim_{n\to\infty}a_n=x$. Demostrando que $A \subseteq \overline{B_1((0,0))}$. Q.E.D.
