Si $g$ es discontinua y $fg$ es continua entonces $f$ es continua.

Question

Demuestra o proporcione un contraejemplo;
Supongamos que $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ es tal que para todas las funciones discontinuas $g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ el producto $fg$ es continuo. Entonces $f$ es continuo.

¿Cómo podría probar o refutar esto, ya que no parece encontrar un contraejemplo en el que tanto $f$ como $g$ sean discontinuos y $fg$ sea continuo. ¿O funcionaría este contraejemplo?
$$g(x) = \begin{cases} 0 &\mbox{si } x > 0 \\ 1 & \mbox{si } x \leq 0. \end{cases}$$ y $$f(x) = \begin{cases} 1 &\mbox{si } x > 0 \\ 0 & \mbox{si } x \leq 0. \end{cases}$$
¿Lo clasificarían como un contraejemplo??

Answer 1

Gran pista: Al elegir una función discontinua $g$ que sea igual a $1$ en algún punto $c \in (a, b)$ y cero en otro lugar, puedo decir algo sobre $f(c)

Answer 2

No estoy seguro de lo que se quiere decir por "discontinuo" aquí - podría ser discontinuo en algún punto o discontinuo en todos los puntos. Por lo general, la gente se refiere a la primera definición. Pero eso haría que el ejercicio fuera mucho menos interesante de lo que tenías en mente.

Para cualquier punto $x ∈ (a..b)$, construye una función discontinua $g_x$ tal que $fg_x = f$ en un entorno de $x$. Eso debería ser sencillo. ¿Qué puedes concluir?