Mostrando que $\lim\limits _{n\to\infty}{n \choose \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\cdot2^{-n}=0$ pero la serie correspondiente no converge.

Question

Quiero mostrar que: $$\lim\limits _{n\to\infty}{n \choose \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\cdot2^{-n}=0 $$ Y también $${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{n \choose \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\cdot2^{-n}} $$ No converge. No soy particularmente bueno con este tipo de aproximaciones, así que realmente apreciaría algo de ayuda.

Answer 1

Estos son los coeficientes binomiales centrales. Puedes ver la página de wiki para las estimaciones $$\frac{2^n}{n+1}\le {n\choose \lceil \frac{n}{2}\rceil} \le \frac{2^n}{\sqrt{1.5n+1}}$$

Multiplica por $2^{-n}$ y obtendrás tus términos. El límite superior da la primera parte; el límite inferior da la segunda parte en comparación con la serie armónica.