Mostrar que $ T \notin X' $ si $ X = C([0,1]) $ está equipado con la norma $ \| f \|_{L^{2}} \stackrel{\text{df}}{=} \sqrt{\int_{0}^{1} |f|^{2}} $.

Question

Sea $ T $ un operador en $ X = C([0,1]) $ definido por $ T(f) \stackrel{\text{df}}{=} f(0) $. Quiero demostrar que $ T \notin X' $ (el espacio dual de $ X $) si $ X $ está equipado con la norma $$ \| f \|_{L^{2}} \stackrel{\text{df}}{=} \sqrt{\int_{0}^{1} |f|^{2}}. $$

Sé que si $ T $ no es acotado, entonces no puede ser un elemento de $ X' $, pero no pude encontrar un $ f $ para hacer que $ T $ sea no acotado. ¿Puedes ayudarme? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Necesitas construir una secuencia de funciones $(f_n)$ tal que $\sup_n\lVert f_n\rVert<\infty$ pero $f_n(0)\geq n$ para cada $n\in\mathbb N$. Prueba con las funciones $f_n$ que toman el valor $n$ en $x=0$ y disminuyen a $0$ en $1/n^2$. Luego muestra que $(f_n)$ tiene las propiedades deseadas.

Answer 2

Observa la secuencia de funciones $g_n(x) \in C[0, 1]$ definidas por

$g_n(x) = 1 - nx, \; \; x \in [0, \dfrac{1}{n}], \tag{1}$

$g_n(x) = 0, \;\; x \in (\dfrac{1}{n}, 1]. \tag{2}$

Observamos que

$Tg_n = g_n(0) = 1 \tag{3}$

para cada $g_n(x)$; calculamos la norma $L^2$ de $g_n(x):

$\Vert g_n(x) \Vert_{L^2}^2 = \int_0^1 (g_n(t))^2 dt = \int_0^{1/n} (1 - nt)^2 dt; \tag{4}$

dado que

$(-\dfrac{1}{3n}(1 - nx)^3)' = (1 - nx)^2, \tag{5}$

tenemos

$\Vert g_n(x) \Vert_{L^2}^2 = (-\dfrac{1}{3n}(1 - nx)^3 \mid_0^{1/n} = \dfrac{1}{3n}, \tag{6}$

por lo tanto

$\Vert g_n(x) \Vert_{L^2} = \dfrac{1}{\sqrt{3n}} \to 0 \;\; \text{a medida que} \; n \to \infty. \tag{7}$

Se desprende de (3) y (7) que $T$ no puede estar acotado en la norma $L^2$ en $C[0, 1]$, ya que si existiera tal cota $C$ entonces

$1 = \vert 1 \vert = \vert Tg_n \vert \le C\Vert g_n \Vert_{L^2} = \dfrac{C}{\sqrt{3n}} \to 0 \tag{8}$

a medida que $n \to \infty$; la absurdidad de (8) impide la existencia de $C; por lo tanto, $T$ no puede estar acotado en la norma $L^2$ en $C[0, 1]$; $T \notin X'$.