Diferentes notaciones en probabilidad

Question

Mientras estudiaba, me encontré con algunas notaciones diferentes que me confunden, así que esperaba que pudieras ayudarme.

En el teorema a continuación, sé que $\mathcal{F}_n^X$ probablemente sea la filtración natural generada por $X_0,\ldots,X_n$ - pero ¿esto significa que $\mathcal{F}_\tau^X$ es la filtración natural generada por $X_0,\ldots, X_\tau$? ¿Y qué se debe pensar de los valores esperados $\mathbb{E}_\mu$ y $\mathbb{E}_{X_\tau}$? ¿Esto simplemente indica que estamos integrando con respecto a otra medida distinta a $P$ (de $(\Omega, \mathcal{F}, P)$) - y en ese caso, ¿cómo es que $X_\tau$ es una medida? ¿O tiene algo que ver con la distribución inicial de alguna manera?

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Sea $\mu$ una medida de probabilidad en $(S,\mathcal{B}(S))$. Sea $Z: S^{\mathbb{N}_0} \to \mathbb{R}$ $\mathcal{B}(S)^{\mathbb{N}_0}$-medible y acotada o no negativa.

(1): Para $n \in \mathbb{N}_0; \mathbb{E}_\mu[Z \circ \theta^n \ | \ \mathcal{F}_n^X] = \mathbb{E}_{X_n}[Z]$.

(2): Para cada tiempo de parada $(\mathcal{F}_n^X)_{n\geq 0}$ $\tau; \mathbb{E}_\mu[Z \circ \theta^n \ | \ \mathcal{F}_\tau^X] = \mathbb{E}_{X_\tau}[Z]$.

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Answer 1

Para un tiempo de parada $(\mathcal{F}^X_n)_n$ definimos $\tau$, $\mathcal{F}^X_\tau$ es el álgebra de tiempos de parada, definida como $$\mathcal{F}^X_\tau = \{A\in \mathcal{F}: A\cap \{\tau\leq n\}\in \mathcal{F}^X_n\,\,\forall n\in\mathbb{N}_0\}.$$ Intuitivamente, esto corresponde con la información que tenemos en el tiempo $\tau$, pero debido a que $\tau$ es una variable aleatoria, esto no es lo mismo que la $\sigma$-álgebra generada por $X_0, ..., X_\tau$, porque eso es un número aleatorio de elementos, mientras que las $\sigma$-álgebras son objetos determinísticos.

Para la otra notación, supongo que esto está en el contexto de cadenas de Markov, porque parece ser así. En ese caso, $\mathbb{E}_x$ denota esperanza con respecto a una medida de probabilidad $\mathbb{P}^x$ bajo la cual $X_0=x$ casi seguro. Es decir, la esperanza si el proceso comienza en $x$. Esto está relacionado con la distribución inicial: la medida $\mathbb{P}^x$ es la medida de probabilidad bajo la cual $X_0$ tiene la distribución inicial que simplemente es $x$ casi seguro.

Como nota: es importante darse cuenta de que $\mathbb{E}_x[Z]$ es solo un número, para un $x$ fijo, pero que $\mathbb{E}_{X_n}[Z]$ y $\mathbb{E}_{X_\tau}[Z]$ son variables aleatorias, porque $X_n$ y $X_\tau$ son variables aleatorias.