¿Cuál es la definición formal de integrales indefinidas?

Question

Sé la definición de la integral definida usando límites (o sup y inf) en rectángulos en una partición dada. Sin embargo, me di cuenta de que no sé la definición formal de las integrales indefinidas.

Mi pregunta es realmente simple, ¿cuál es la definición de las integrales indefinidas?

Answer 1

Se puede definir formalmente el concepto de la antiderivada e introducir la notación de integral indefinida para referirse al conjunto de todas las antiderivadas de una función. Para la antiderivada, sería algo así:

Para una función $f : [a,b] \to \mathbb{R}$, llamamos a una función diferenciable $F : [a,b] \to \mathbb{R}$ una antiderivada de $f$ si $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ en $(a,b)$.

Luego se introduce la siguiente notación para el conjunto de todas las antiderivadas de $f$: $$\int f(x) \, \mbox{d}x$$

O, una vez que se tiene la integral definida, se puede usar para introducir la integral indefinida, por ejemplo: $$\int f(x) \, \mbox{d}x = \int_a^x f(t) \, \mbox{d}t + C $$ Esto se basa en el hecho de que la integral definida en el lado derecho es una antiderivada de $f$ (este es el teorema fundamental del cálculo) y se utiliza el hecho de que todas las antiderivadas solo pueden diferir en términos constantes, por lo que agregar la constante arbitraria te da todas ellas.

Apostol hace esto en su libro Cálculo, Vol. 1 donde introduce la integral definida mucho antes que la "notación de Leibniz para la integral indefinida".

Answer 2

Creo que el concepto que encontrarás más en la literatura es "anti-derivada" en lugar de "integral indefinida". En todos los contextos que puedo pensar, la definición de una anti-derivada $F$ primero requiere que se defina una derivada, digamos $D$, y luego se define como "$F$ es una anti-derivada de $f$ si y solo si $DF = f". La razón por la que encontrarás más sobre "anti-derivada" en lugar de "integral-indefinida" es que "anti-derivada" generaliza, mientras que la integral-indefinida proviene del caso clásico del teorema fundamental del cálculo que otros han mencionado:

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Primero, define la derivada $\frac{d}{dt}$ de funciones diferenciables $f : [a,b] \to \mathbb R$. Luego, una anti-derivada de $f$ es cualquier $F : [a,b] \to \mathbb R$ tal que $\frac{d}{dt} F = f$. El teorema fundamental del cálculo nos dice que algún $F$ existe para todo $f$ Riemann-integrable, y para cualquier anti-derivada $F$, tenemos, para $\alpha \leq \beta$ en $[a,b]$, $$ \int_\alpha^\beta f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_\alpha^\beta = F(\beta) - F(\alpha). $$ La idea de "integral indefinida" se deriva de lo anterior al "omitir $\alpha$ y $\beta", que es lo que se significa al escribir $$ \int f(x) \, dx = F(x). $$ Pero la forma más precisa de escribir lo anterior es a través de anti-derivadas: $\frac{d}{dt} F = f$.

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Algunas generalizaciones de "anti-derivada" (pero no necesariamente "integral-indefinida") se encuentran en el análisis funcional:

• Un primer ejemplo concreto: decimos que $u \in L^2(\mathbb R)$ tiene una derivada débil ($u'$) en $L^2(\mathbb R)$ si existe $u' \in L^2(\mathbb R)$ tal que se cumple la siguiente ecuación integral: $$ \left\langle u, - \frac{df}{dx} \right\rangle_{L^2} = \left\langle u', f \right\rangle_{L^2} \qquad\forall f \in C_c^1(\mathbb R). $$ (Puedes dar sentido a esto integrando por partes.) En este caso, podríamos decir en cambio que $u' \in L^2(\mathbb R)$ tiene una anti-derivada ($u$) en $L^2(\mathbb R)$ si existe $u \in L^2(\mathbb R)$ tal que se cumple la misma ecuación.

• Más generalmente, "primitivas" son soluciones $u$ a la ecuación diferencial $\partial u = v$, donde $u$ y $v$ son distribuciones. ($v$ es conocido y $u$ se debe encontrar.) Podríamos igualmente haber llamado a $u$ una anti-derivada de $v$ en lugar de una primitiva. En este caso, puede que no siempre haya una forma buena/razonable de escribir esto como una ecuación integral como $v = \int u$.

• Medidas $\nu$ con una derivada de Radon-Nikodym $f = \frac{d\nu}{d\mu}$ podrían igualmente llamarse anti-derivadas de sus derivadas de Radon-Nikodym. En este caso, escribir algo como $\nu = \int f \, d\mu = \int \frac{d\nu}{d\mu} \,d\mu$ también tiene sentido.