El componente de tiempo de la ecuación geodésica para la gravedad newtoniana

Question

Estoy trabajando en un ejercicio de libro de texto de GR simple y popular. En Cosmología Moderna de Dodelson (p. 54), se establece así:

La métrica para una partícula que viaja en presencia de un campo gravitatorio es $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ donde $h_{00} = -2\phi$ donde $\phi$ es el potencial gravitacional newtoniano; $h_{i0}=0$; y $h_{ij} = -2\phi\delta_{ij}$. Muestra que el componente temporal de la ecuación geodésica implica que la energía $p^0+m\phi$ se conserva.

He determinado que los símbolos de Christoffel no nulos son $$\Gamma^0_{00}=\frac{\partial\phi}{\partial t},\quad\Gamma^i_{00}=c^2\frac{\partial\phi}{\partial x^i},\quad\Gamma^0_{ii}=\frac{-1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t},$$ asumiendo que $\phi \ll 1$. A partir de ahí, utilizo el componente temporal de la ecuación geodésica $$\frac{d^2t}{d\tau^2} = \Gamma^0_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau},$$ que se simplifica considerablemente al escribirse en términos de $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$: $$\gamma\frac{d\gamma}{dt} = -\frac{\partial\phi}{\partial t} - 2\gamma^2\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right).$$

Según el enunciado del problema, sin embargo, debería estar terminando con algo así como $$\frac{\partial}{\partial t}\left(p^0 +m\phi\right)=0$$ (en unidades naturales con $c=1$). ¿Mi resultado se reduce de alguna manera a este? Hasta ahora, ni siquiera puedo ver cómo surgiría el término $m\phi$.

Answer 1

Comenzando desde la ecuación geodésica

$$ \frac{d^2x^0}{d\tau^2} = \Gamma^0_{\mu \nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = \Gamma^0_{0 0} \frac{dx^0}{d\tau} \frac{dx^0}{d\tau} \tag{1} $$

Donde la última igualdad se sigue del hecho de que estamos en el límite de baja velocidad que se puede formular como Dodelson lo hace de esta manera: $p^0 \gg p^i$ o equivalentemente en términos de la cuadrivelocidad $u^0 \gg u^i$

Dado que estamos ignorando las componentes espaciales de la cuadrivelocidad, tenemos, a partir de la normalización de la cuadrivelocidad

$$ -1=u_\mu u^\mu = u^0 u^0 = \frac{dx^0}{d\tau} \frac{dx^0}{d\tau} \tag{2} $$

Utilizando $\Gamma^0_{0 0}= \frac{\partial{\phi}}{\partial{\tau}}$, insertando $(2)$ en $(1)$ y multiplicándolo por $m$ tenemos

$$ m \frac{d^2x^0}{d\tau^2} = \frac{d p^0}{d \tau} = - m \frac{\partial{ \phi}}{\partial{ \tau}} \tag{3} $$

De donde obtenemos

$$ \frac{\partial}{\partial \tau} ( p^0 + m\phi) = 0 \tag{4} $$

Y por lo tanto el término entre paréntesis en $(4)$ se conserva:

$$ p^0 + m\phi = constante \tag{5} $$

Answer 2

Si estás buscando cantidades conservadas, no empieces con la ecuación geodésica. Escribe la longitud del arco como:

$$I = \int d\tau\left({\dot x}^{a}{\dot x}^{b}g_{ab}\right)$$, y establece la variación con respecto a cada uno de los $x^{a}$ igual a cero. Esto te dará las ecuaciones geodésicas si expandes todo, pero te dará cantidades conservadas del movimiento geodésico de forma gratuita si eliges las coordenadas correctas.