Los sistemas caóticos pueden ser definidos de muchas maneras. Una definición es que el sistema tiene un exponente de Lyapunov positivo, es decir, dos trayectorias que comienzan cerca una de la otra divergirán exponencialmente rápido. Otra definición es que el sistema tiene entropía de Kolmogorov-Sinai distinta de cero, es decir, sin importar cuán finamente dividamos el espacio de fase del sistema, en una escala de tiempo suficientemente larga siempre habrá cierta incertidumbre en la evolución del sistema discreto inducida por la partición. Ambas capturan la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales. ¿Son condiciones equivalentes? ¿Es una condición necesaria para la otra? ¿El conocimiento del valor numérico de una ayuda a derivar la otra, incluso aproximadamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Permítanme intentar resumir la situación conectando los exponentes de Lyapunov y la entropía métrica. Una buena referencia expositiva para esta relación se encuentra aquí.
Teorema (Desigualdad de Ruelle): Sea $f$ un mapa $C^1$ (no necesariamente invertible) de $M \to M$ donde $M$ es una variedad compacta, y sea $\mu$ una medida invariante. Para casi todo $x$ respecto a $\mu$, los exponentes de Lyapunov $\lambda_i(x)$ están definidos, y sea $\lambda_+(x)$ la suma de los exponentes de Lyapunov positivos para $f$ en $x$. Entonces, $$ h_{\mu}(f) \leq \int_M \lambda_+(x) \,d\mu(x) $$ En particular, la entropía métrica positiva implica la existencia de (un conjunto positivo de medida $\mu$) de puntos $x \in M$ para los cuales $\lambda_+(x) > 0$.
Por otro lado, hay sistemas $(f, \mu)$ que admiten exponentes de Lyapunov positivos para los cuales la entropía métrica es en realidad cero. Esto sucede cuando la desigualdad de Ruelle es estricta. Como ejemplo trivial de esto, considera un mapa $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ con una silla en el origen, y sea $\mu$ la delta masa en $0$.
Un mejor ejemplo: supongamos que $\mu$ está soportada en un herradura hiperbólica y es isomorfa al desplazamiento de Bernoulli $(\frac12, \frac12)$ (esto es así para cualquier herradura con dos 'ramas'). Puedes comprobar que $h_{\mu}(f) = \log 2$, pero es posible ver que $\lambda_+(x) > \log 2$ en la herradura (ya que solo hace falta un poco más de una expansión por $\times 2$ para 'doblar' y formar la segunda rama en una herradura lineal).
Existe una teoría bien desarrollada que explica las condiciones necesarias y suficientes para que la desigualdad de Ruelle sea una igualdad. A grandes rasgos, la igualdad se cumple si y solo si $\mu$ no 'desperdicia' ninguna expansión en regiones perdidas del espacio de fase.
Más precisamente: Pesin demostró originalmente que cuando $\mu$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces la desigualdad de Ruelle es una igualdad. Luego, a mediados de los años 80, Ledrappier y Strelcyn demostraron que si una medida es SRB, la desigualdad de Ruelle es una igualdad. Para una referencia sobre medidas SRB y sus (muchas y hermosas) propiedades, consulta este documento. Ledrappier y Young demostraron unos años después que, de hecho, la afirmativa es verdadera: cuando la desigualdad de Ruelle es una igualdad, la medida es SRB.
