Estoy tratando de entender la diferencia entre los operadores de escalera (para el oscilador armónico) $a^\dagger$, $a$ y los operadores de creación/annihilación $c^\dagger$, $c$. ¿Son lo mismo? He leído que el operador número está dado por $N=c^\dagger c$, pero también por $N=a^\dagger a$, así que asumo que deben ser lo mismo y por lo tanto, ¿conmutan? ¿Es esto correcto o?
Respuesta
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Es una convención bastante extendida reservar los símbolos $a$ y $a^\dagger$ para los operadores de aniquilación y creación bosónicos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas $$ [a,a^\dagger] = 1, \qquad [a,a] = [a^\dagger,a^\dagger] = 0, $$ mientras que se reservan los símbolos $c$ y $c^\dagger$ para los operadores de aniquilación y creación fermiónicos que satisfacen relaciones de anticonmutación canónicas del tipo $$ \{c,c^\dagger\} = 1, \qquad \{c,c\} = \{c^\dagger,c^\dagger\} = 0. $$ Bajo esa convención, los operadores fermiónicos siguen dando un operador número como $N=c^\dagger c$, pero su comportamiento es muy diferente ya que ahora el establecer los anticonmutadores en cero implica que $c^2 = (c^\dagger)^2 = 0$, lo que restringe los números de ocupación a solo $1$ o $0$.
Sin embargo: esta convención no es universal, y siempre es necesario verificar qué relaciones de (anti)conmutación se imponen en dichos operadores cuando se introducen, sea lo que sea que estés leyendo. Sin embargo, las relaciones de conmutación especifican completamente el comportamiento, por lo que si tienes un objeto que satisface el conjunto de relaciones bosónicas, puedes llamarlo "operador de escalera" o "operador de aniquilación" según el gusto personal, y nadie se extrañará por ningún término: ambos tienen contextos donde uno puede ser preferible sobre el otro.
