¿Por qué $\Bbb{C}/G \cong \Bbb{C}^*/G^*$?

Question

Sea $G = \{g \mid g: z\mapsto z +k+l\omega ,\text{ con } k,l \in \Bbb{Z}\}$ (donde $\text{Im}\ \omega >0$) el grupo de traslación que actúa en $\Bbb{C}$.

Bajo el mapa exponencial $\exp(2\pi i):\Bbb{C}\to \Bbb{C}^*$ tenemos otra acción $G^* = \{g^* \mid g^*:z\mapsto z\cdot e^{2\pi i n\omega} , \text{con } n \in \Bbb{Z}\}$ que es una acción en $\Bbb{C}^*$, y podemos verificar que el mapa exponencial dado arriba es compatible con la acción de $G$ y $G^*$ es decir, $$\exp(2\pi i)(g\cdot z) = g^*\cdot \exp(2\pi i)(z)$$

con $g(z) = z+ m_1\omega + m_2 \in G$ y $g^* = e^{2\pi i m_1 \omega} \in G^*$

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Quiero demostrar que el espacio cociente es el mismo, es decir:

$$\Bbb{C}/G \cong \Bbb{C}^*/G^*$$

Sé que si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo $G$ - equivariante entonces $X/G \cong Y/G$ pero aquí el mapa exponencial ya no es un homeomorfismo, ¿cómo garantizar que aún induce un homeomorfismo en el cociente?

Answer 1

$\newcommand{\Numbers}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\Cpx}{\Numbers{C}}\newcommand{\Ints}{\Numbers{Z}}$Como en la pregunta, fija un número complejo $\omega$ con parte imaginaria positiva (y, si se desea sin pérdida de generalidad, satisfaciendo $|\operatorname{im}\omega| \leq \frac{1}{2}$ y $1 \leq |\omega|$). Introduce el subgrupo aditivo $$ G = \Ints + \Ints\omega = \{k + \ell\omega : k,\ \ell \in \Ints\} \subset (\Cpx, +) $$ actuando por traslaciones, y el subgrupo multiplicativo $$ G^{*} = \{\exp(2\pi in\omega) : n \in \Ints\} \subset (\Cpx^{\times}, \cdot) $$ actuando por multiplicación compleja.

Detalles para llenar según sea necesario:

• $G^{*} = \exp(G)$. Específicamente, $\exp$ induce una sobreyección de $G = \Ints + \Ints\omega$ a $G^{*}$ con núcleo $\Ints$.
• El mapa de cobertura $\exp:\Cpx \to \Cpx^{\times}$ seguido por el mapa cociente $\Cpx^{\times} \to \Cpx^{\times}/G^{*}$ se factoriza a través del cociente, induciendo una biyección $\Cpx/G \to \Cpx^{\times}/G^{*}$. Debido a que las acciones de grupo son a través de biholomorfismos y $\exp$ es un mapa de cobertura holomorfo (por lo tanto, un biholomorfismo local), esta biyección es un biholomorfismo.
• Respecto a la afirmación de sin pérdida de generalidad, cada retícula de enteros en $(\Cpx, +)$ es, hasta el escalado y la rotación, generada por $1$ y un número complejo $\omega$, el módulo, que satisface $|\operatorname{im}\omega| \leq \frac{1}{2}$ y $1 \leq |\omega|$, y dos retículas de este tipo son iguales si y solo si sus módulos difieren por $\pm1$ o son recíprocos negativos. (Geométricamente, el borde del dominio modular se pega a lo largo de la línea central.)

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Bart de Smit y Hendrik Lenstra utilizaron estas ideas en un artículo de 2004 en las AMS Notices para analizar el efecto Droste en la obra de M.C. Escher Print Gallery. Solían haber animaciones mpeg alojadas en Leiden de zoom infinito hacia el centro de la obra de Escher basadas en el "desenvolvimiento" levantando la litografía de Escher a la cubierta universal, luego mapeando de regreso a $\Cpx^{\times}$ después de escalar y rotar. Lo único que aparece en una búsqueda rápida en la web, sin embargo, es este video de youtube https://youtu.be/9WHdyG9mJaI