Encontré este ejercicio al final de un capítulo sobre el movimiento Browniano. Deje que $(X_j)_{j=1}^{2^M}$ sean variables aleatorias Gaussianas estándar independientes, donde $M$ es un número entero. Definimos $B_k:=2^{\frac{-M}{2}}\sqrt{T}\sum_{j=1}^kX_j$, donde $0
Hasta ahora he hecho lo siguiente:
Para la matriz $2^{\frac{-M}{2}}\sqrt{T}A$ he elegido: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots \\ 1 & 1 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots& 0 \\ 1 & \cdots & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$
Entonces claramente $2^{\frac{-M}{2}}\sqrt{T}AX=B$, visto como vectores. Por lo tanto sé que $B$ está distribuido normalmente con media $0$ y matriz de covarianza $A\cdot \mathrm{Id}\cdot A^T$. Para el producto $A\cdot A^T$ obtuve:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots \\ 1 & 2 & 2 & \cdots \\ \vdots & 2 & 3&3&\cdots \\ \vdots & 2 & 3 & 4& \cdots\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix} $$ con el factor $2^{-M}T$ al frente. Claramente $(W_{k2^{-M}T})_{k=1}^{2^M}$ tiene una esperanza de cero y está distribuido normalmente. Pero no veo por qué las matrices de covarianza son iguales. Espero que alguien pueda ayudarme. Gracias de antemano.
hulik
