Clase Forzar y Genérico: Conjuntos Predensos vs Clases Densas

Question

En resumen, mi pregunta es: ¿por qué usamos clases definibles en la definición de genericidad para la clase de forcing, en lugar de conjuntos predensos?

Para elaborar, en el libro de Sy y de hecho en otras fuentes sobre el tema de la clase de forcing, $G$ es genérico si cumple con cada clase definible y densa de $M$, el modelo base; una extensión natural de la situación usual. Por supuesto, las clases pueden volverse un poco complicadas, por lo que naturalmente uno se preguntaría si se pueden usar conjuntos predensos en su lugar: intuitivamente la respuesta debería ser "no", ya que de lo contrario probablemente ya lo habríamos hecho. De hecho, Stanley afirma directamente que esta "genericidad definible" es más fuerte que la "genericidad interna" [1].

Por lo tanto, mi pregunta es realmente doble:

1. ¿Cuál es el problema con el argumento estándar de que la genericidad definida para conjuntos predensos es la misma?

   ~~

   Sea $\mathbb P$ una clase de forcing definible. Sea $D$ un conjunto predenso de $M$, sea $\tilde D$ la clase de extensiones de $D$, que es definible ($\tilde D=\{p\in\mathbb P\mid \exists q\in D(p\leq q)\}$) y densa (como de costumbre: si $p\in\mathbb P$ entonces hay un $q\in D$ compatible con $p$, luego un $r \in \tilde D$ que extiende a $q$.) Así que por genericidad definible, existe $r\in G\cap\tilde D$, que debe provenir de la extensión de un $q\in D$, que también está en $G$ ya que es un filtro.

   ~~

   Supongo que estoy haciendo algo malo con esas clases propias, pero no veo dónde.

   Entonces, con un poco más de reflexión, es obvio que es la otra dirección la cuestión, es decir, si $G$ es internamente genérico, ¿cuándo es genérico de forma definible? Así que me gustaría saber sobre esto con respecto a la condición de buena conducta que Sy define:

   $\mathbb P$ es buena si, dado un $p$, cualquier secuencia de clases densas $M$-definibles puede ser refinada a una secuencia (en $M$) de conjuntos predensos por debajo de algún $q\leq p$.

   Entonces:

2. ¿Funciona bien el forcing de clase si usamos conjuntos predensos? ¿Puede la extensión satisfacer ZFC(-) (en el lenguaje con un predicado para el genérico)?

3. Si no en general, ¿hay condiciones útiles que lo hagan funcionar?

4. ¿Cuáles son algunos ejemplos de casos en los que la diferencia importa?

En realidad estoy más interesado en la situación del forcing de Prikry sobre un modelo con un $M$-ultrafiltro.

[1] Stanley, M.C., 2003, Modelos Externos y Genericidad. JSL.

Answer 1

Permítanme señalar que cumplir con todos los conjuntos pre-densos no es generalmente lo mismo que cumplir con todas las clases densas. Considere el forcing $\mathbb{P}$ que agrega una función genérica de $\text{Ord}$ a $V$. (Se puede usar este forcing para forzar la elección global — ver el relato de Victoria Gitman.) Es decir, las condiciones son funciones $p:\alpha\to V$ para algún ordinal $\alpha$, y el orden es la extensión de las funciones. Si un filtro $G\subset\mathbb{P}$ cumple con todas las clases densas, entonces es fácil ver que $\cup G$ es una función total sobreyectiva de $\text{Ord}$ a $V$: para cualquier conjunto $x$, es denso que las condiciones tengan a $x$ en su rango, y para cualquier ordinal $\alpha$, es denso que las condiciones estén definidas en $\alpha.

Pero ese argumento se desmorona completamente si se intenta usar solo conjuntos pre-densos: la razón es que el forcing $\mathbb{P}$ no tiene conjuntos pre-densos en absoluto! (excepto para los conjuntos que contienen la función vacía) Para cualquier conjunto $B$ de condiciones no triviales, hay una condición $p$ que es incompatible con cada elemento de $B$. Así que resulta que cada filtro se encuentra con todos los conjuntos pre-densos, y la tecnología de forcing no estaría haciendo lo que queremos.

Puede responder que este ejemplo es porque estamos usando el orden parcial, en lugar del álgebra de Boole. Pero esa respuesta tiene problemas, porque en un caso como este, no hay forma de formalizar la completitud de Boole sin recurrir a meta-clases, ya que los antitransos son generalmente clases propias aquí. Así que no podemos ir tan fácilmente a la completitud de Boole del forcing.

Se puede transformar $\mathbb{P}$ en un forcing que también agrega conjuntos, por ejemplo, usando el filtro genérico para determinar qué sucede a continuación, por ejemplo, para codificar $G$ en el patrón GCH.