Dado $p>0$ . Encuentra el menor número real $k_p$ tal que la siguiente desigualdad es válida para cualquier real no negativo $a,b,c$ : $$\frac{a}{\sqrt{a+pb}}+\frac{b}{\sqrt{b+pc}}+\frac{c}{\sqrt{c+pa}} \le k_p \sqrt{a+b+c}.$$
Algunos casos particulares:
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$k_p = \sqrt{\frac{3}{p+1}}$ para $0\le p\le \frac{1}{2}$ .
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$k_1=\frac{5}{4}$ .
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$k_{3/2} = \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{\sqrt{-1+\sqrt{3}}}+\sqrt{-5+3\sqrt{3}}$ .
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$k_2 = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{2\sqrt{3}}}+\sqrt{-1+\frac{2}{\sqrt{3}}}$ .
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$k_4 = \frac{17 -\sqrt{33}}{6\sqrt{-1+\sqrt{33}}}+\sqrt{\frac{-5+\sqrt{33}}{12}}$ .
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Algunas divagaciones al azar... Quieres el máximo de (LHS) / $\sqrt{a + b + c}$ la simetría sugiere que el resultado es a lo largo de $a = b = c$ o en los bordes (algunos de los tres cero). La desigualdad es homogénea (multiplicar todo por una constante, se obtiene lo mismo después de simplificar), la simetría como arriba dice $a = b = c = 1$ que da el resultado que usted cita para $0 \le p \le 1/2$ ¿Está seguro de que no es válido en general? También una sustitución $u = b/a$ , $v = c / a$ podría ayudar.
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A partir de un determinado valor de $p$ la igualdad deja de ser válida cuando $a=b=c=1$ . Por ejemplo, para $p=1$ tenemos $k_1=\frac{5}{4}$ y la igualdad se produce si y sólo si $(a,b,c)$ es proporcional a $(3,1,0)$ o sus permutaciones cíclicas.
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Si está interesado, inténtelo por $p=1$ primero. Es un buen resultado aunque bastante difícil (a diferencia de lo que ocurre con $0\le p\le \frac{1}{2}$ que es fácil por Cauchy-Schwarz).
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Utilizando el cálculo, la condición necesaria para $(1,1,1)$ para ser un maximizador local de $f(a,b,c) = \frac{\mathrm{LHS}}{\sqrt{a+b+c}}$ es $p \le \frac{1}{2} + \frac{3}{10}\sqrt{5}\approx 1.1708$ Si $p > \frac{1}{2} + \frac{3}{10}\sqrt{5}$ Supongo que el máximo de $f(a,b,c)$ se consigue cuando $c=0$ . Así que supongo que $k_p = \frac{1}{\sqrt{(px_0+1)(x_0+1)}} + \sqrt{\frac{x_0}{x_0+1}}$ donde $x_0$ es la raíz real positiva más pequeña de $(p^3-4p^2)x^3-(p^2+4p)x^2-(p^2-p+1)x + 1 = 0$ . Cuando $p=\frac{5}{4}, \frac{3}{2}, 2, 4$ es lo mismo que sus resultados.