Distribución de la diferencia de dos variables aleatorias normales.

Question

Si $U$ y $V$ son normales estándar independientes e idénticamente distribuidas, ¿cuál es la distribución de su diferencia?

Presentaré mi respuesta aquí. Espero saber si estoy en lo correcto o no.

Usando el método de las funciones generadoras de momentos, tenemos

\begin{align*} M_{U-V}(t)&=E\left[e^{t(U-V)}\right]\\ &=E\left[e^{tU}\right]E\left[e^{tV}\right]\\ &=M_U(t)M_V(t)\\ &=\left(M_U(t)\right)^2\\ &=\left(e^{\mu t+\frac{1}{2}t^2\sigma ^2}\right)^2\\ &=e^{2\mu t+t^2\sigma ^2}\\ \end{align*} La última expresión es la función generadora de momentos para una variable aleatoria distribuida normal con media $2\mu$ y varianza $2\sigma ^2$. Por lo tanto, $U-V\sim N(2\mu,2\sigma ^2)$.

Para la tercera línea desde la parte inferior, se sigue del hecho de que las funciones generadoras de momentos son idénticas para $U$ y $V.

Gracias por tu opinión.

EDITAR: OH, ya veo que cometí un error, ya que las variables aleatorias están distribuidas normal ESTÁNDAR. Cambiaré mi respuesta para decir que $U-V\sim N(0,2)$.

Answer 1

La respuesta actualmente votada es incorrecta, y el autor rechazó los intentos de edición a pesar de la aprobación de 6 revisores. Así que aquí está; si uno conoce las reglas sobre la suma y transformaciones lineales de distribuciones normales, entonces la distribución de $U-V$ es: $$ U-V\ \sim\ U + aV\ \sim\ \mathcal{N}\big( \mu_U + a\mu_V,\ \sigma_U^2 + a^2\sigma_V^2 \big) = \mathcal{N}\big( \mu_U - \mu_V,\ \sigma_U^2 + \sigma_V^2 \big) $$ donde $a=-1$ y $(\mu,\sigma)$ denotan la media y la desviación estándar para cada variable.

Answer 2

Además de la solución del OP utilizando la función generadora de momentos, proporcionaré una solución (casi trivial) cuando se conocen las reglas sobre la suma y las transformaciones lineales de distribuciones normales.

La distribución de $U-V$ es idéntica a $U+a \cdot V$ con $a=-1$. Entonces, según las reglas citadas, sabemos que $U+V\cdot a \sim N(\mu_U + a\cdot \mu_V,~\sigma_U^2 + a^2 \cdot \sigma_V^2) = N(\mu_U - \mu_V,~\sigma_U^2 + \sigma_V^2)~ \text{(para $a = -1$)} = N(0,~2)~\text{(para variables distribuidas normalmente estándar)}$.

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Edición 2017-11-20: Después de rechazar la corrección propuesta por @Sheljohn de la varianza y un error tipográfico varias veces, él los escribió en un comentario, así que finalmente los vi. ¡Gracias @Sheljohn!

Answer 3

Con la fórmula de convolución: \begin{align} f_{Z}(z) &= \frac{dF_Z(z)}{dz} = P'(Z que es la densidad de $Z \sim N(0,2)$. El intercambio de derivada e integral es posible porque $y$ no es una función de $z$, después de eso cerré el cuadrado y utilicé la función de error para obtener $\sqrt{\pi}$. Los límites de integración son los mismos para cada rv.