Duda sobre dos enfoques diferentes para calcular el grupo fundamental de una superficie cerrada orientable colapsada a una curva separadora

Question

Sea $S$ una superficie cerrada orientable de género $2$ y $A$ una curva separadora como en la siguiente figura:

Estoy tratando de calcular el grupo fundamental de $S/A$ de dos maneras diferentes. Desafortunadamente, obtengo dos soluciones distintas.

Primera solución.

Es claro que $S/A$ es homeomorfo a la suma de cuña de dos toros $T=S^1\times S^1$. Según el Ejemplo 1.21 del libro de Hatcher, podemos concluir que: $$\pi_1(T\vee T)\cong \pi_1(T)\star \pi_1(T)$$ Denotando por $a, b$ las 1-células del primer toro y $c, d$ las 1-células del segundo, entonces: $$\pi_1(T\vee T)\cong\langle a,b\, |\, [a,b]\rangle \star \langle c,d\,|\, [c,d]\rangle=\langle a,b,c,d\, |\, [a,b], [c,d]\rangle.$$

Segunda solución.

Denotando por $C(A)$ al cono: $$C(A)=\frac{A\times [0,1]}{(x,1)\sim(x',1), \forall x,x'\in A},$$ y adjuntándolo a $S$ mediante el mapa de inclusión $i:A\subset S\to C(A)$ dado por: $$i(x)=q(x,0),$$ siendo $q$ el mapa cociente de $A\times [0,1]\to C(A)$. Se puede mostrar que el espacio resultante $S\cup_iC(A)$ tiene el mismo tipo de homotopía que $S/A$. El mapa $i$ es claramente equivalente homotópicamente al mapa constante $x\mapsto q(x,1)\in C(A)$.

Según la Proposición 0.18 del libro de Hatcher:

Proposición 0.18. Si $(X_1,A)$ es un par $CW$ y tenemos mapas de adjunción $f,g:A\to X_0$ que son homotópicos, entonces $X_0\cup_f X_1\simeq X_0\cup_g X_1$ rel $X_0$.

podemos concluir que $S\cup_iC(A)$ y $S\vee C(A)$ tienen grupos fundamentales isomorfos. Entonces: $$\pi_1(S/A)\cong \pi_1(S)\star \pi_1(C(A)).$$ Ahora, cada lazo en $C(A)$ es homotópico a un lazo constante y, en consecuencia, tiene un grupo fundamental trivial. Si denotamos por $a, b, c, d$ las $1$-células de la estructura estándar de CW de $S$, entonces: $$\pi_1(S/A)\cong \pi_1(S)\cong \langle a, b, c, d\, |\, [a,b][c,d]\rangle.$$

El problema.

Según mi (muy limitado) conocimiento de presentación de grupos, la primera solución: $$\langle a,b,c,d\, |\, [a,b], [c,d]\rangle$$ no puede ser isomorfa a la segunda: $$\langle a,b,c,d\, |\, [a,b][c,d]\rangle$$

¿Qué está mal en mi razonamiento?

Answer 1

Su primera solución es correcta, y también es correcto que las dos presentaciones de grupos que ha escrito definen grupos no isomorfos. Su error está en su segunda solución. En particular, está escondido en la línea

Según la Proposición 0.18 del libro de Hatcher, podemos concluir que $S\cup_i C(A)$ y $S\vee C(A)$ tienen grupos fundamentales isomorfos.

Lo que Hatcher dice es que si los mapas $i,i'\colon A\subset S\to C(A)$ son homotópicos, entonces $S\cup_i C(A)$ y $S\cup_{i'} C(A)$ son homotópicos relativos a $C(A)$. Aquí $i'$ es el mapa que envía $A$ al punto cono de $C(A)$.

El error que ha cometido es decir que $S\cup_{i'} C(A)=S\vee C(A)$, no lo es. Cuando $i'$ colapsa $A$ al punto cono de $C(A)$, también colapsa $A$ en $S$, así que de hecho $S\cup_{i'} C(A)=S/A\vee C(A)$ que se retrae por deformación en $S/A$, y no hay contradicción.

Aquí hay algunas imágenes ilustrativas: