Definiendo una topología por sus conjuntos compactos

Question

La meta. Dejemos que $X$ sea un conjunto dotado de topologías de Hausdorff $\tau_w$ y $\tau_n$, tal que $\tau_w\subseteq\tau_n$. Sea $\mathscr{C}$ una familia de subconjuntos $A\subseteq X$, que cumple las siguientes propiedades.

(i) $\mathscr{C}$ es cerrado bajo intersecciones arbitrarias y uniones finitas;
(ii) cada conjunto $\tau_n$-compacto pertenece a $\mathscr{C$; y
(iii) cada $A\in\mathscr{C}$ es $\tau_w$-compacto.

Me gustaría definir una nueva topología $\tau_\mathscr{C}$ en $X$ que cumpla las siguientes propiedades.

(1) $\tau_w\subseteq\tau_\mathscr{C}\subseteq\tau_n$;
(2) cada conjunto $\tau_\mathscr{C}$ compacto pertenece a $\mathscr{C}$; y
(3) cada $A\in\mathscr{C}$ es $\tau_\mathscr{C}$-compacto.

Discusión.

Lo obvio que intentar es tomar la intersección $\tau_\cap$ de todas las topologías $\tau$ que satisfacen $\tau_w\subseteq\tau\subseteq\tau_n$ y para las cuales cada conjunto compacto bajo $\tau$ pertenece a $\mathscr{C}$. Sin embargo, no es obvio que $\tau_\cap$ satisfaría (2) o (3).

Probablemente esto no es posible en general. Sin embargo, podríamos asumir que $X$ es un espacio de Banach, $\tau_n$ es la topología de la norma y $\tau_w$ es la topología débil. También podríamos, si es necesario, imponer algunas suposiciones adicionales sobre $\mathscr{C}$.

Answer 1

Esto parece ser una situación difícil en general. Por supuesto, si $\tau_w$ y $\tau_n$ tienen los mismos conjuntos compactos, entonces el único $\mathscr{C}$ posible es esta colección común de conjuntos compactos y, por lo tanto, cualquier $\tau_\mathscr{C}$ intermedio funcionará (incluyendo $\tau_w$ y $\tau_n$ en sí mismos). Sin embargo, si hay al menos un $A \subseteq X$ que es $\tau_w$-compacto pero no $\tau_n$-compacto, entonces la familia $$\mathscr{C}=\{K : K \text{ es } \tau_n-\text{compacto}\} \cup \{K \cup A : K \text{ es } \tau_n-\text{compacto}\} $$ satisface i, ii e iii, pero no hay un $\tau_{\mathscr{C}}$ intermedio que tenga $\mathscr{C}$ como sus conjuntos compactos.