En topología algebraica hay dos libros de texto "avanzados" canónicos que van bastante más allá de los cursos de posgrado habituales.
Son Switzer Algebraic Topology: Homology and Homotopy y Whitehead Elements of Homotopy Theory. Estos son ambos excelentes libros que (teóricamente) te dan una visión general e introducción a la mayoría de los temas principales que necesitas para convertirte en un investigador moderno en topología algebraica.
La Geometría Diferencial parece estar llena de excelentes libros de texto introductorios. Desde Lee hasta do Carmo y muchos otros.
Ahora podrías estar pensando que Kobayashi/Nomizu parece natural. Pero la edad de esos libros está mostrándose en términos de lo que la gente realmente está haciendo hoy en día en comparación con lo que aprendes al usar esos libros. Simplemente no son la forma más eficiente de aprender geometría diferencial moderna (o al menos eso he oído).
Estoy buscando un libro que cubra temas como Clases Características, Teoría de Índices, el lado analítico de la teoría de variedades, grupos de Lie, teoría de Hodge, variedades de Káhler y geometría compleja, geometría simpléctica y de Poisson, Geometría Riemanniana y análisis geométrico, y quizás algunas relaciones con la geometría algebraica y la física matemática. Pero ninguno de estos temas completamente, como hace Switzer con una perspectiva unificadora y pruebas de resultados legítimos realizadas a un nivel avanzado, pero realmente como una introducción a cada uno de los temas (Switzer lo hace con la teoría K, secuencias espectrales, operaciones de cohomología, Espectros...).
El único libro que he encontrado que está más o menos en esta línea es Lectures on the Geometry of Manifolds de Nicolaescu, pero este libro omite muchos temas.
Esto fue inspirado por la página viii del excelente libro de Lee: enlace donde lista algunos de estos otros temas e casi da a entender que llevarían otro volumen. Me pregunto si ese volumen avanzado existe.
¡Cualquier recomendación de libros/monografías sería muy apreciada!
