Un sistema dinámico de contrato abstracto $\alpha$

Question

Supongamos $\newcommand{\f}{\phi}\newcommand{\ep}{\varepsilon}\newcommand{\R}{\mathbb R}$

Supongamos que $(\f_t)_{t\ge0}$ es un sistema dinámico abstracto en un espacio de Banach $(X,\|\mathord\cdot\|)$. Sea $C(x,\ep)$ la bola cerrada con radio $r$ centrada en $x\in X$.

Recordemos que un sistema dinámico abstracto $(\phi_t)_{t\ge0}$ en $X$ es una colección de mapas $\f_t: X\to X$ tal que $\f_0$ es el mapa identidad en $X$ y $\f_t\circ\f_{s}=\f_{t+s}$ para todo $t,s\ge0$.

Supongamos lo siguiente:

Supongamos que para todo $t\ge0$ existen mapas $f_t,g_t:X\to X$ tal que $$\f_t(x)=f_t(x)+g_t(x).\tag{1}$$

Además, supongamos que para todo $r\ge0$ existe un $T_r\ge0$ y un mapa $h=h_{T_r}:[0,\infty)\to[0,\infty)$ donde $$\lim_{t\to\infty}h(t)=0\tag{2}$$ y $$\overline{f_t[C(0,r)]}\text{ es compacto siempre que }t>T_r\tag{3}$$ (la línea superior es el cierre) y para todo $t\ge0$ y todo $x\in C(0,r)$: $$\|g_t(x)\|\le h(t) \tag4$$

Entonces $$\lim_{t\to\infty}\alpha(\f_t[A])=0$$ para todo conjunto acotado $A\subset X$, donde $\alpha$ es la medida de no compacidad de Kuratowski.

Me han dicho que este es un resultado conocido en la teoría de sistemas dinámicos abstractos, pero no puedo encontrar una prueba. ¿Hay alguien que sepa cómo demostrar esta afirmación o conozca una buena referencia (preferiblemente un libro)?

Answer 1

Recuerde que $\alpha$ es monótona y subaditiva: $\alpha(B+C)\le \alpha(B)+\alpha(C)$. [Referencia: Análisis Funcional No Lineal por Deimling). Usando (1), encontramos que $\alpha(\phi_t(A))\le \alpha(f_t(A))+\alpha(g_t(A))$. Elija $r$ tal que $A\subset C(0,r)$. Por (4) y (2) tenemos $\alpha(g_t(A))\le 2h(t)\to 0$ cuando $t\to\infty$. Finalmente, $\alpha(f_t(A))=0$ por (3) cuando $t>T_r.

A menos que esté equivocado, la propiedad de semigrupo no es necesaria.