Definición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F y sea T:V→V un operador lineal. Si v es un vector en V, el subespacio cíclico T−generado por v es el subespacio Z(v,T)={g(T)(v)∈V:g∈F[x]}.
Ejercicio: Demuestra que dimZ(v,T)=1⟺v es un eigenvector de T.
Mi intento:
(⇒)
Observa que si dimZ(v,T)=1, entonces v≠0, porque si v=0, entonces Z(T,v)={0}.
Ahora supongamos que dimZ(v,T)=1, entonces existe un vector w∈V tal que Z(v,T)=⟨w⟩, es decir, g(T)(v)=αw, para todo polinomio g en F[x] y para algún α∈F. Entonces, si g=1, tenemos v=λw, es decir, podemos considerar Z(v,T)=⟨v⟩.
Dado que T(v)∈Z(v,T), existe un λ∈F tal que T(v)=λv.
(⇐)
Supongamos que v es un eigenvector de T, entonces existe un λ∈F tal que T(v)=λv.
Si λ=0, entonces v∈kerT y para todo polinomio no constante g∈F[x] tenemos g(T)(v)=0. Por lo tanto, Z(v,T)=⟨v⟩ y dimZ(v,T)=1.
Si λ≠0, mi idea es: Tomar p,q∈F[x] y mostrar que p(T)(v) y q(T)(v) son linealmente dependientes, pero estoy atascado, veamos:
Sean α1,α2∈F, tal que
α1p(T)(v)+α2q(T)(v)=0
Entonces tenemos:
α1P(λ)(v)+α2q(λ)(v)=0
Luego
α1P(λ)+α2q(λ)=0
¿Cómo puedo demostrar que α1 o α2 es distinto de cero??