$Z(v,T) = 1 \iff v$ es un vector propio de $T$.

Question

$\textbf{Definición:}$ Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y sea $T:V \to V$ un operador lineal. Si $v$ es un vector en $V$, el subespacio cíclico $T-$generado por $v$ es el subespacio $Z(v,T) =\{ g(T)(v) \in V: g \in F[x]\}$.

$\textbf{Ejercicio:}$ Demuestra que $\dim Z(v,T) = 1 \iff v$ es un eigenvector de $T$.

$\textbf{Mi intento:}$

$(\Rightarrow)$

Observa que si $\dim Z(v, T) = 1$, entonces $v \neq 0$, porque si $v = 0$, entonces $Z(T,v) =\{0\}$.

Ahora supongamos que $\dim Z(v, T) = 1$, entonces existe un vector $w \in V$ tal que $Z(v,T) = \langle w \rangle$, es decir, $g(T)(v) = \alpha w,$ para todo polinomio $g$ en $F[x]$ y para algún $\alpha \in F$. Entonces, si $g = 1$, tenemos $v = \lambda w$, es decir, podemos considerar $Z(v,T) = \langle v \rangle$.

Dado que $T(v) \in Z(v,T)$, existe un $\lambda \in F$ tal que $T(v) = \lambda v$.

$(\Leftarrow)$

Supongamos que $v$ es un eigenvector de $T$, entonces existe un $\lambda \in F$ tal que $T(v) = \lambda v$.

Si $\lambda = 0$, entonces $v \in \ker T$ y para todo polinomio no constante $g \in F[x]$ tenemos $g(T)(v) = 0$. Por lo tanto, $Z(v,T) = \langle v \rangle$ y $\dim Z(v,T) = 1$.

Si $\lambda \neq 0$, mi idea es: Tomar $p,q \in F[x]$ y mostrar que $p(T)(v)$ y $q(T)(v)$ son linealmente dependientes, pero estoy atascado, veamos:

Sean $\alpha_1, \alpha_2 \in F$, tal que

$\alpha_1 p(T)(v) + \alpha_2 q(T)(v) = 0$

Entonces tenemos:

$\alpha_1 P(\lambda)(v) + \alpha_2 q(\lambda)(v) = 0$

Luego

$\alpha_1P(\lambda) + \alpha_2 q(\lambda) = 0$

¿Cómo puedo demostrar que $\alpha_1$ o $\alpha_2$ es distinto de cero??

Answer 1

Así es como lo haría: Si $\lambda \neq 0$, entonces para cualquier polinomio $g \in F[x]$ tenemos $$g(T)(v) =g(\lambda)v,$$

donde $g(\lambda) \in F$, por lo tanto $Z(v, T) \subset \langle v \rangle$. De manera inversa, se puede demostrar fácilmente que $\langle v \rangle \subset Z(v, T)$.

Usando tu idea: Nota que puedes asumir que tanto $p(\lambda)v$ como $q(\lambda)v$ son vectores no nulos (de lo contrario, son trivialmente linealmente dependientes). En particular, dado que $v$ no es nulo, podemos asumir que $p(\lambda)$ y $q(\lambda)$ no son nulos. Si son dependientes, necesitamos mostrar que podemos encontrar un $\alpha_1$ y $\alpha_2$ no ambos iguales a cero, tales que $\alpha_1p(\lambda)v + \alpha_2q(\lambda)v = 0$. Tomando $\alpha_1 = q(\lambda)$ y $\alpha_2 = -p(\lambda)$ funciona.