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Z(v,T)=1v es un vector propio de T.

Definición: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F y sea T:VV un operador lineal. Si v es un vector en V, el subespacio cíclico Tgenerado por v es el subespacio Z(v,T)={g(T)(v)V:gF[x]}.

Ejercicio: Demuestra que dimZ(v,T)=1v es un eigenvector de T.

Mi intento:

()

Observa que si dimZ(v,T)=1, entonces v0, porque si v=0, entonces Z(T,v)={0}.

Ahora supongamos que dimZ(v,T)=1, entonces existe un vector wV tal que Z(v,T)=w, es decir, g(T)(v)=αw, para todo polinomio g en F[x] y para algún αF. Entonces, si g=1, tenemos v=λw, es decir, podemos considerar Z(v,T)=v.

Dado que T(v)Z(v,T), existe un λF tal que T(v)=λv.

()

Supongamos que v es un eigenvector de T, entonces existe un λF tal que T(v)=λv.

Si λ=0, entonces vkerT y para todo polinomio no constante gF[x] tenemos g(T)(v)=0. Por lo tanto, Z(v,T)=v y dimZ(v,T)=1.

Si λ0, mi idea es: Tomar p,qF[x] y mostrar que p(T)(v) y q(T)(v) son linealmente dependientes, pero estoy atascado, veamos:

Sean α1,α2F, tal que

α1p(T)(v)+α2q(T)(v)=0

Entonces tenemos:

α1P(λ)(v)+α2q(λ)(v)=0

Luego

α1P(λ)+α2q(λ)=0

¿Cómo puedo demostrar que α1 o α2 es distinto de cero??

2voto

Rushy Puntos 325

Así es como lo haría: Si λ0, entonces para cualquier polinomio gF[x] tenemos g(T)(v)=g(λ)v,

donde g(λ)F, por lo tanto Z(v,T)v. De manera inversa, se puede demostrar fácilmente que vZ(v,T).

Usando tu idea: Nota que puedes asumir que tanto p(λ)v como q(λ)v son vectores no nulos (de lo contrario, son trivialmente linealmente dependientes). En particular, dado que v no es nulo, podemos asumir que p(λ) y q(λ) no son nulos. Si son dependientes, necesitamos mostrar que podemos encontrar un α1 y α2 no ambos iguales a cero, tales que α1p(λ)v+α2q(λ)v=0. Tomando α1=q(λ) y α2=p(λ) funciona.

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