Una sutil límite de que se trate.

Question

Evaluar

$$ \lim _{n \to \infty}\sin(\pi\sqrt {n^2+0.5 n+1}), $$ donde $n\in \mathbf{N}$. Esto es cómo he resuelto: $$ \begin{align} &\lim _{n \to \infty}\sin(n\pi\sqrt {1+0.5/n+1/n^2})\\ &= \sin(n\pi)\,\,\,\,\,\,\,\small\color{grey}[{since \sqrt {1+0.5/n+1/n^2} = 1 , as\,\,n\to\infty]}\\ &=0 \end{align} $$ Pero la pregunta real es de $\frac{1}{\sqrt2}$ o $\frac{-1}{\sqrt2}$ dependiendo de si n es par o impar .

Answer 1

Para un gran $n$,

$$\sqrt{n^2+\frac n2+1}=n\sqrt{1+\frac1{2n}+\frac1{n^2}}\approx n\left(1+\frac1{4n}\right)=n+\frac14.$$ a la primera orden.

A continuación, la expresión tiende a $\pm\dfrac1{\sqrt2}$ dependiendo de la paridad de $n$, de modo que el límite no existe.

Answer 2

Hacer casi lo que hizo $$\sqrt{n^2+\frac{n}{2}+1}=n \sqrt{1+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{n^2}}$$ Now, using Taylor expansion or generalized binomial theorem $$\sqrt{1+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{n^2}}=1+\frac{1}{4 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ which makes $$\sin \left(\pi \sqrt{n^2+\frac{n}{2}+1}\right)\sim \sin(n\pi+\frac \pi 4)$$ a partir de la cual se puede concluir.

Answer 3

La situación es más delicada de lo que usted piensa. Por ejemplo, $1+1/\sqrt n \to 1,$ aún $\sin(n\pi((1+1/\sqrt n))$ no tiene límite. De hecho, esta secuencia es denso en $[-1,1].$

Sugerencia: $\sqrt {1+u} = 1 + u/2 + o(u)$ $u\to 0.$

Answer 4

Alternativamente:

La función de $$\sqrt{x^2+\frac x2+1}\sim x$$ tiene una asíntota oblicua y

$$\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+\frac x2+1}-x=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac x2+1}{\sqrt{x^2+\frac x2+1}+x}=\frac14$ $ , de modo que la asíntota es

$$y=x+\frac14$$ and $$\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+\frac x2+1}-\left(x+\frac14\right)=0.$$

Así que la función dada converge a una sinusoide con una fase de $\dfrac\pi4$. Esto es suficiente para concluir.

Answer 5

El general de razonamiento problema

El problema con el razonamiento es que hemos asumido que el límite existe. Bajo este supuesto, todos los pasos son válidos. Pero desde que la suposición es incorrecta, la conclusión puede ser verdadera o no. Y el hecho de que la conclusión no es verdadera implica que la hipótesis no es válida.

Todas las reglas acerca de los límites y de las operaciones ($\lim (f \cdot g) = (\lim f) \cdot (\lim g)$, ese tipo de cosas) son válidas si todos los límites existe. Si los límites no existen, debe ser más cuidadoso.

De hecho, las reglas son más precisos que los que: usted puede utilizar para demostrar que el límite existe, pero sólo en una dirección. Por ejemplo, si $f$ $g$ ambos tienen un límite, entonces su producto también tiene un límite, y el límite de un producto es el producto de los límites. En notación matemática, si $\lim f$ existe y $\lim g$ existe $\lim (f \cdot g)$ existe y $\lim (f \cdot g) = (\lim f) \cdot (\lim g)$. El recíproco no es cierto: es posible para $\lim (f \cdot g)$ a que existe pero no $\lim f$$\lim g$. (Ejemplo Trivial: si $f=0$ $\lim (0 \cdot g)$ existe para cualquier $g$, si $\lim g$ existe o no).

Si usted no sabe todavía si existe un límite, a menudo se puede probar su existencia y calcular su valor en el mismo tiempo, pero usted necesita tener cuidado. Es común escribir $$\begin{align} \lim(f) &= \textsf{something} \\ &= \textsf{something else} \\ \end{align}$$ Estrictamente hablando, esto debe significar "$\lim(f)$ existe y su valor es igual a $\textsf{something}$, que es igual a $\textsf{something}$". Hay un abuso de notación que hace es decir "$\lim(f)$ existe y tiene el valor de $\textsf{something}$ si $\textsf{something}$ está bien definido, y $\textsf{something}$ está bien definido y es igual a $\textsf{something else}$ si $\textsf{something else}$ está bien definido". Que está perfectamente bien, la lógica de las obras, siempre y cuando se recuerde que cuando usted va de una línea a la siguiente, sólo se puede aplicar reglas tales que si el siguiente paso es bien definido, entonces el paso anterior también está bien definido. Usted no puede aplicar reglas que asumir que el paso anterior está bien definido.

El específico de razonamiento problema

En este caso, la regla que se aplica para demostrar que $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi\sqrt {1+0.5/n+1/n^2}) = \lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$ realmente sólo dice que el lado izquierdo existe si el lado derecho existe, por lo que usted necesita para mostrar que el lado derecho no existe. Echemos un vistazo a este paso más de cerca:

1. $\lim_{n\to\infty} \sqrt {1+0.5/n+1/n^2} = 1$
2. $\lim_{n\to\infty} n \pi = +\infty$
3. Deje $h(n) = n \pi \sqrt {1+0.5/n+1/n^2}$. Aplicando el límite-de-un-producto de la regla a (1.) y (2.), conseguimos llegar a $\lim_{n\to\infty} h(n) = +\infty$
4. Ahora nos gustaría ir de$\lim_{n\to\infty} h(n) = \lim_{n\to\infty} n \pi$$\lim_{n\to\infty} \sin (h(n)) = \lim_{n\to\infty} \sin (n \pi)$. Este sería el caso por la composición de la regla de si $\sin$ tenía un límite en $+\infty$, pero este no es el caso, por lo que estamos atascados. Tenga en cuenta que $\sin$ es una función de los números reales a los números reales. Hay un límite si se restringe el dominio de valores de la forma$n\pi$$n\in\mathbb{N}$, pero ese hecho no se extiende a los valores de la forma $h(n)$.

El hecho de que el límite no existe muestra que el paso 4 es un problema real y no sólo una dificultad en justificar el razonamiento. Estamos estancados porque estamos tratando de demostrar algo que es falso.

La teoría matemática para entender esta función

La secuencia que estamos viendo no tiene un límite. Tiene dos límite de puntos de $1/\sqrt{2}$ $-1/\sqrt{2}$ . Del mismo modo, para la función de $\sin$$+\infty$, todos los números reales en el rango de $[-1,1]$ límite de puntos.

Intuitivamente hablando, un punto límite es un límite de una "parte" de la secuencia o función. Un límite significa que los valores son arbitrariamente cercano a la meta, no importa cómo se enfoque el objetivo. Un punto límite significa que los valores son arbitrariamente cerca de la meta, pero sólo para un determinado modo de acercarse a la meta.

Si hay un límite, entonces es un punto límite, y es el único. Si hay más de un punto límite, no puede haber un límite. Si hay un solo punto límite, en general esto no implica que hay un límite (esto es cierto en espacios compactos, pero no en general - de hecho, para la métrica de los espacios, de la propiedad que caracteriza a los espacios compactos).