Probabilidad de un modelo dada una imagen

Question

Me gustaría escribir la función de verosimilitud para una imagen con respecto a los valores teóricamente predichos. Suponiendo ruido gaussiano uniforme, los píxeles son estadísticamente independientes, y podemos escribir una verosimilitud que es simplemente el producto de distribuciones normales independientes:

$ p(D|M)=\prod\limits_{x,y}\mathcal{N}(d_{x,y}|m_{x,y},\sigma) $

Donde $D$ es la imagen y $M$ es el modelo teórico. Sin embargo, esta verosimilitud parece incorrecta, cuando consideramos que dos imágenes de puro ruido, con la misma varianza, tendrían una probabilidad no trivial entre sí:

$ p(D_1|D_2)=\prod\limits_{x,y}\mathcal{N}(D_{1_{x,y}}|D_{2_{x,y}},\sigma) $

Mi pregunta es, ¿cómo podemos ajustar la verosimilitud para que realmente te indique la probabilidad de que el modelo y los datos coincidan mejor que al azar? Una idea es que la verosimilitud parece implicar una situación de pruebas de hipótesis múltiples, por lo que quizás necesite corrección. Pero no estoy totalmente seguro de eso.

Answer 1

Sea $p(D|\bar{M})$ la probabilidad de la imagen bajo la suposición 'aleatoria'. Entonces la probabilidad posterior del modelo vs. aleatorio es: $$ p(M|D) = \frac{p(D|M)p(M)}{p(D|M)p(M) + p(D|\bar{M})p(\bar{M})} $$ Esto se puede escribir como una transformación de una razón de verosimilitud: $$ p(M|D) = \frac{1}{1 + \frac{p(D|\bar{M}) p(\bar{M})}{p(D|M)p(M)}} $$ Nota que tendrás que proporcionar una probabilidad prior $p(M)$ para el modelo vs. aleatorio. Consulta la entrada de Wikipedia en Factor de Bayes.