¿Las trayectorias de sonda pueden quedar "atrapadas en órbitas más regulares" después de cambiar la escala para calcular los exponentes de Lyapunov?

Question

Estoy calculando exponentes de Lyapunov, y hay algo que no entiendo sobre los datos. El modelo tiene un régimen para $\delta \approx 1$ (en algunas unidades) donde es completamente caótico, y la manera usual (evolucionando trayectorias de prueba o elementos de volumen) de calcular los exponentes se comporta como se espera.

Sin embargo, para un $\delta > 0$ pequeño a mediano (el modelo no es integrable en el límite delta = 0), la reescala de exponentes lleva a un comportamiento extraño...

Por ejemplo, estoy inicializando una trayectoria de prueba $t_0(t)$ para una determinada trayectoria de prueba en una distancia inicial de $10^{-11}$ y evoluciono ambas en el tiempo. Si excede el límite superior de $10^{-10}$, reescalo la distancia a $10^{-11}$ y continúo la evolución. El primer intervalo de tiempo hasta $t_1$, donde excede el límite superior, se alcanza rápidamente, prediciendo un exponente de O($1$). Sin embargo, después de la primera (o segunda) reescala, la distancia crece extremadamente lentamente, prediciendo una amplia gama de exponentes diferentes. Si reinicio una nueva trayectoria de prueba (aleatoria) en $t_1$, la distancia entre la nueva trayectoria $t_1$ crece extremadamente rápido mientras que la reescalada $t_0$ crece extremadamente lento. De alguna manera, el procedimiento de reescalado está sesgado hacia proyectar la trayectoria de prueba en una órbita más regular. Esto es de alguna manera contra intuitivo para mí, ya que pensaba que (independientemente de la reescala) la trayectoria de prueba se alinea en la dirección de crecimiento máximo (?)

Adjunto hay un gráfico visualizando el escenario. La curva roja es la trayectoria de prueba $t_0(t)$. Si excede el límite superior, la reescalo y reinicio una nueva trayectoria aleatoria $t_1(t)$ mostrada en verde. La trayectoria verde (aleatoriamente inicializada) siempre muestra un aumento rápido en la distancia. Sin embargo, el crecimiento en ambos casos parece ser lineal, lo que presumiblemente se atribuye a una tolerancia finita del solucionador de EDO.

Este comportamiento ocurre para todos los puntos en el espacio de fase, y encuentro la misma respuesta cuando uso el Jacobiano para evolucionar un volumen... De alguna manera, las trayectorias no se alinean a lo largo de la dirección de crecimiento máximo, sino que "se quedan atascadas" en órbitas más regulares después de la reescala.

¿Alguien ha experimentado un problema similar, o puede dirigirme a alguna referencia? ¿Puede estar relacionado con efectos de frontera entre manifolds caóticos y regulares?

Answer 1

Creo que lo siguiente está sucediendo: El espacio de fase está mezclado, y hay trayectorias regulares donde la perturbación crece linealmente en el tiempo $d(t) = d_0 \alpha t + d_0$, donde $d_0$ es la perturbación inicial. $\alpha$ es del orden de $\mathcal{O}(1)$. Esto se puede entender a partir de las variables de acción-ángulo.

La reescala afecta a las integrales de movimiento, reduciendo $\alpha$, lo que produce un menor crecimiento.