¿Es la superficie de cobertura universal orientable?

Question

Sea $M$ una superficie suave, también cerrada (compacta y sin frontera). ¿Es cierto que su superficie de cobertura universal es orientable?

Answer 1

Por definición, una superficie de cobertura universal es simplemente conexa. Las variedades simplemente conexas siempre son orientables (porque un camino que evidencia la no orientabilidad no puede ser contraíble).

Answer 2

También, desde la perspectiva de las obstrucciones, la obstrucción a la orientabilidad (primera clase de Stiefel-Whitney) vive en la primera homología, la cual es cero para espacios simplemente conexos (trivialmente, abelianizando el grupo 0).