¿Es esto una serie geométrica? Si es así, por favor ayúdame a calcular la suma: $\sum_{n=1}^\infty n[{1\over 4}]^{n-1}$

Question

¿Es esta una serie geométrica? Si es así, por favor ayúdame a señalarme en la dirección correcta para calcular la suma: $$\sum_{n=1}^\infty n[{1\over 4}]^{n-1}$$

Sé que utilizando la prueba de divergencia esta serie no diverge. También, utilizando la prueba de la raíz (o de la razón) convergerá. Puedo ver utilizando una tabla que con suficientes términos la suma parece estar acercándose a $16/9$.

¿Cómo puedo resolver este problema utilizando cálculo? No puedo usar la fórmula geométrica simple $s = \frac{a}{1-r}$ porque no hay una razón común (la razón para cada término va de $\frac{2}{4}$, a $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{12}$, $\frac{5}{16}$, $\frac{6}{20}$, ...).

Entonces pregunto, ¿es esta una serie geométrica (el problema en el que estoy trabajando dice que sí y quiero verificarlo)? Si es así, ¿cómo puedo descubrir la fórmula que representa las sumas parciales para que más tarde pueda tomar el límite de la secuencia de sumas parciales para encontrar la respuesta?

Answer 1

Una respuesta para un lector menos avanzado. Supongamos que sabemos que converge. Diga que converge a $T$. Entonces $$ T = \frac{1}{1}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\frac{5}{4^4}+\dots $$ Divida por $4$ $$ \frac{T}{4} = \frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{4}{4^4}+\frac{5}{4^5}+\dots $$ restar... para cada denominador, reste los dos términos con ese denominador: $$ T - \frac{T}{4} = 1 +\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{4^2}+\frac{4-3}{4^3}+\frac{5-4}{4^4}+\dots \\ =1 +\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\dots $$ Ahora esto es una serie geométrica. Así que evalúelo como $4/3$ para obtener $$ \frac{3}{4}\;T = \frac{4}{3} $$ lo que puedes resolver para $T$.

Answer 2

Deje $a=\frac 1 4$, ahora observe que $na^{n-1}= a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}...+a^{n-1}$ $n$ veces, entonces nuestra serie se ve así $$\sum_{n=1}^{\infty} na^{n-1}=a^0+a^1+a^1+a^2+a^2+a^2...=a^0+a^1+a^2....+a^1+a^2+a^3...+a^2+a^3+a^4... ...=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{i=n}^{\infty}a^{i-1}=\sum_{n=1}^{\infty}a^{n-1}\sum_{i=1}^{\infty}a^{i-1}$$ Ahora $\sum_{i=1}^{\infty}a^{i-1}$ puede ser evaluado como $$\sum_{i=1}^{\infty}a^{i-1}=\frac{1}{1-a}$$ ya que $a<1$, por lo tanto $$\sum_{n=1}^{\infty}a^{n-1}\sum_{i=1}^{\infty}a^{i-1}=\sum_{n=1}^{\infty}a^{n-1}\frac{1}{1-a}=\frac{1}{1-a}\sum_{n=1}^{\infty}a^{n-1}=(\frac{1}{1-a})^2$$