El interior algebraico de un conjunto convexo no está vacío si el casco afín es todo el espacio

Question

Definiciones. Sea $X$ un subconjunto de un espacio lineal $S.$

1. El casco afín de $X$ es la intersección de todos los espacios afines (traslaciones de subespacios) que contienen a $X.$ Es fácil demostrar que el casco afín de $C$ toma la forma $t + H$ donde $t \in C$ y $H$ es un subespacio vectorial.
2. El interior algebraico (en relación con el espacio vectorial $S$) de $X$ es el conjunto de puntos $x \in X$ tal que para cada punto $y \in S,$ existe un $\delta = \delta_x > 0$ que cumple $x + [0, \delta]y \subset X.$ Si $X$ es un conjunto convexo (lo que significa que $x,y \in X$ implica $[x,y] =x + [0,1](y-x) \subset X$), entonces el interior algebraico es el conjunto de $x \in X$ tal que para cada $y \in S,$ existe un $\delta > 0$ tal que $x + \delta y \in X.$

Demuestre o refuta: Sea $C$ un subconjunto convexo de $S.$ Si el casco afín de $C$ es $S,$ entonces $C$ tiene interior algebraico no vacío (el recíproco se demuestra fácilmente).

En la pregunta: Un ejemplo de un conjunto convexo con interior vacío y cuyo casco convexo es todo el espacio hicieron una pregunta similar, excepto que allí consideran el interior usual (topológico). Más explícitamente, si $S$ es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces el interior topológico $X$ está contenido en el interior algebraico. En particular, el interior algebraico de $X$ contiene la unión de $\mathop{\mathrm{int}}\limits_{\tau} (X)$ a medida que $\tau$ recorre todas las topologías que hacen de $S$ un EVT. Esa pregunta cuestiona si el casco afín de $X$ siendo todo $S$ es suficiente para que cada topología $\tau$ tenga $\mathop{\mathrm{int}}\limits_{\tau} (X) \neq \varnothing.$ Esta pregunta se responderá afirmativamente si para alguna topología $\tau,$ tenemos que $\mathop{\mathrm{int}}\limits_{\tau} (X) \neq \varnothing$ (la posibilidad de que todo interior topológico esté vacío y aún así el interior algebraico no esté vacío está abierta).

Answer 1

Voy a refutar la afirmación proporcionando un contraejemplo.

• Sea $S=\{(x_1,x_2,\ldots)\in\Bbb R^\infty: x_n=0\text{ para casi todos }n\in\Bbb N\}$. Este es un espacio lineal.
• Sea $C=\{x\in S:x_n\geq 0\text{ para todo }n\in\Bbb N\}$.
• Sea $x\in S$ cualquier vector. Entonces $x=u-v$ para algún $u,v\in C$ ($u$ y $v$ pueden elegirse como una parte positiva y negativa de $x$, respectivamente). Además $0\in C$. Por lo tanto $x\in\mathrm{aff}\,C$. Esto muestra que $\mathrm{aff}\,C=S$.
• Fijemos un $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,0,0,\ldots)\in C$ arbitrario. Sea $y\in S$ igual a $y=-e_{n+1} = (0,0,\ldots,0,-1,0,0,\ldots)$ (menos uno en la posición $n+1$). Observa que para todo $\delta>0$ tenemos que $x+\delta y\notin C$. Por lo tanto $x$ no es un punto interior. Esto demuestra que el interior de $C$ está vacío.