Decaimiento de la función limitada en banda

Question

Considera una función $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ con $\|f\|_{2}=1$ y tal que $\hat{f}$ está soportada en la bola $B(0,1)$. Me pregunto cuál es la mejor decrecencia que puede tener $f$.

Leí en "G. Björck: Linear partial differential operators and generalized distributions" que se puede construir un $f$ para el cual $$|f(x)|\leqslant Ce^{-|x|^\alpha}, x\in\mathbb{R}^d$$ donde $0<\alpha<1$. ¿Existen estimaciones mejores? ¿Y en particular para esta estimación, cuál es el valor mínimo que podemos tomar para $C$ (siempre y cuando $\|f\|_{2}=1$)?

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta, la respuesta es básicamente no. No se puede tener un decaimiento exponencial, porque eso implicaría que $\hat f$ es analítica, lo cual es inconsistente con el soporte compacto.

Answer 2

La transformada de Fourier de una función con soporte acotado es una función entera de tipo exponencial. Incluso en dimensión 1, tal función no puede tener decaimiento como $e^{-\epsilon x}$. De hecho, $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\log|f(x)|}{1+|x|^2}dx<\infty$$ para cada $f$ en $L^2$. Esta condición es casi óptima, al menos en dimensión $1$. Qué tan cerca está de ser óptima, es el tema de famosos (y difíciles) teoremas de Beurling-Mailliavin. El más simple de estos teoremas dice que si $\omega>0$ es continuamente uniforme y $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\omega(x)}{1+|x|^2}dx,$$ entonces para cada $\delta>0$ existe una función $f$ en $L^2$ cuya transformada de Fourier está soportada en $[-\delta,\delta]$ y $\log|f|\leq\omega$.