Intersección de cúbicas retorcidas en $\mathbb{P}^3$

Question

Supongamos que tenemos dos cúbicas torcidas $C_1$, $C_2$ en $\mathbb{P}^3$ tales que ambas yacen en alguna superficie cúbica, lo que significa que $h^0(\mathbb{P}^3, I_{C_1\cup C_2}(3))>0$. Quiero demostrar que en este caso se intersecan.

Supongamos que no se intersecan. Entonces $\mathcal{O}_{C_1\cup C_2}=\mathcal{O}_{C_1}\oplus\mathcal{O}_{C_2}$. Torciendo por 3 la secuencia exacta $$0\to I_{C_1\cup C_2}\to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}\to\mathcal{O}_{C_1\cup C_2}\to0$$ y tomando cohomologías obtenemos $$0\to H^0(\mathbb{P}^3, I_{C_1\cup C_2}(3))\to H^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(3))\stackrel{f}\to H^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{O}_{C_1\cup C_2}(3))\to H^1(\mathbb{P}^3, I_{C_1\cup C_2}(3))\to0.$$ Pero $h^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(3))=20$ y $h^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{O}_{C_1\cup C_2}(3))=2h^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{O}_{C_1}(3))=2h^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(9))=20$, así que parece que el mapa $f$ es un isomorfismo, lo cual contradice la suposición $h^0(\mathbb{P}^3, I_{C_1\cup C_2}(3))>0$.

¿Es verdad o no que $f$ es un isomorfismo? Si sí, ¿cómo se puede demostrar esto?

$\textbf{Editar}$

Parece que el enfoque que di en el mensaje no es el mejor posible.

¡Si alguien pudiera dar una respuesta canónica basada en un argumento diferente, sería bienvenida!

$\textbf{Editar 2}$

Recibí la siguiente sugerencia.

Dado que $C_1$ y $C_2$ no se intersecan, $I_{C_1\cup C_2}=I_{C_1}\otimes I_{C_2}$. Para $I_{C_i}$ hay una resolución de la forma

$$0\to\mathcal{O}(-3)^{\oplus2}\to\mathcal{O}(-2)^{\oplus3}\to I_{C_i}\to0.$$

Tensorizando estas dos resoluciones y torciendo por 3 obtenemos la secuencia exacta

$$0\to\mathcal{O}(-3)^{\oplus4}\to\mathcal{O}(-2)^{\oplus6}\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus9}\to I_{C_1}\otimes I_{C_2}(3)\to0.$$

Los tres primeros términos no tienen cohomologías, así que parece que el cuarto tampoco tiene. ¿Cómo demostrar esto? ¿Debería usar alguna secuencia espectral?

Answer 1

Probablemente sea cierto que tu mapa $f$ sea un isomorfismo si las curvas son elegidas "suficientemente generalmente". Pero eso sería un argumento circular. Puede fallar en general. Lo mejor que se me ocurre en este momento es la siguiente sugerencia.

Supongamos que $C_1$ y $C_2$ tienen $2$ líneas biesecantes comunes $L$ y $M$ que se cruzan en un punto $P = L \cap M$. (No veo ninguna razón en particular por la cual eso no debería suceder, ¿quizás puedas buscar un ejemplo? Las líneas biesecantes a $C_1$ cubren $\mathbb{P}^3$, y de manera similar $C_2$).

Entonces la condición para que las cúbicas contengan a $C_1$ y $C_2$ sería linealmente dependiente: argumenta primero en los $4$ puntos $L \cap C_1$ y $L \cap C_2$ ( $4$ condiciones en cúbicas, como debería ser). Luego argumenta sobre $4$ puntos $P$ y $2$ puntos de $M \cap C_1$ y uno de los puntos de $M \cap C_2$; cúbicas a través de estos puntos pasan necesariamente por el segundo punto de $M \cap C_2$. Por lo tanto, las dos curvas $C_1$ y $C_2$ imponen cada una $10$ condiciones en cúbicas, pero estas condiciones no son linealmente independientes.

Es cierto que las cúbicas torcidas $C_1$ y $C_2$ no pueden estar contenidas en una superficie cúbica $S$ que no sea singular en ambos. Espero que puedas seguir los números de intersección de curvas en una superficie. Porque (después de resolver singularidades si es necesario), $C_1^2 = +1$ y $C_2^2 = +1$, por lo que $C_1 \cdot C_2 = 0$ contradiría el teorema del índice algebraico. Pero ese argumento no funciona si $S$ tiene alguna singularidad a lo largo de los $C_i$.