Obtener una fórmula explícita para la ecuación de onda

Question

Considera la siguiente ecuación de onda lineal. $$ u_t+cu_x-\gamma u_{xx}+\delta u_{xxx}=0 $$

Si conocemos los siguientes datos iniciales, $$ u(x,0)= 3\cos^2(x)+\sin(x) $$ ¿cómo obtener una solución explícita?

Sé que la solución general es: $$ v(x,t)=A\exp( ik[x-(c-\delta k^2)t] )\exp(-\gamma k^2t) $$

Incluso si comparo $u(x,0)=v(x,0)$, no puedo resolverlo.

Answer 1

Supongamos (para simplificar) que nuestra función está definida en $\mathbb{R}$ sin condiciones de contorno específicas. Por lo tanto, no hay restricción en $k$. Así que $k\in \mathbb{R}$ y la solución general es $u(x,t)=\int_{\mathbb{R}}A(k)v_{k}(x,t)dk$ (superposición de modos numerados por $k$). Por lo tanto, $u(x,0)$ se da por $\int_{\mathbb{R}}A(k)e^{ikx}dk$. Podemos usar la transformada de Fourier para calcular $A(k)$ y usarlo para encontrar la solución de nuestra ecuación con respecto a las condiciones iniciales dadas.