¿Aplicar un polinomio a un operador?

Question

Suponga que $T \in L(V)$ y $\exists$ un entero positivo n tal que $T^n = 0$. Demuestre que $(I-T)$ es invertible y que $(I-T)^{-1} = I + T + \dots + T^{n-1}$.

Ojalá pudiera decir que intenté algo para este problema, pero ni siquiera sé cómo empezar, excepto mostrar que $(I - T)$ es inyectiva y sobreyectiva, y para la segunda parte no tengo ni idea, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

$(I-T)(I+T+\ldots+T^{n-1})= I+T+\ldots+T^{n-1} - T -\ldots -T^n = I - T^n =I$, y similarmente $(I+T+\ldots+T^{n-1})(I-T)=I$.

Por lo tanto, $(I-T)^{-1} = I + T + \dots + T^{n-1}$ y, por supuesto, entonces $I-T$ es invertible, ya que estamos exhibiendo explícitamente su inversa.

Answer 2

$(I-T)(I+T+\ldots+T^{n-1})=(I+T+\ldots+T^{n-1})(I-T)=I$

$(I-T)(I+T+\ldots+T^{n-1})=(I+T+\ldots+T^{n-1})(I-T)=I$