Problema: ecuación diferencial

Question

¡Hola! Estoy tratando de resolver el siguiente problema de ecuación diferencial

$$ x''+tx'+\frac{1}{1+t+t^2}x=0\tag 1$$ cuando $$x(1)=0\ \ \ ;\ \ \ x'(1)=1 $$

¿La solución es analítica en $t_0=1$ y su radio de convergencia es $R>1$?

De acuerdo, creo que necesito poner la ecuación diferencial como una ecuación diferencial de Frobenius, entonces obtengo, con la ecuación inicial, que mi solución está definida por $$ \varphi_1(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(t-1)^{n+1}$$ $$\varphi_2(t)=C\varphi_1(t)\log(t-1)+\sum_{n=0}^{\infty} b_n(t-1)^n $$

No puedo trabajar con $\varphi_1$ en $(1)$, no sé... ¿alguien podría ayudarme?

Answer 1

Es bastante fácil mostrar por sustitución que $t=1$ es un punto regular para esta ecuación, ya que todos los coeficientes tienen valores finitos en este punto.

Lo que significa que podemos buscar la solución como una serie de potencias regulares alrededor de $t=1$, y el método de Frobenius no es necesario aquí.

Tiene más sentido introducir una nueva variable:

$$u=t-1, \qquad y(u)=x(t)$$

Entonces nuestra ecuación se convierte en:

$$y''+(1+u)y'+\frac{1}{3+3u+u^2}y=0$$

Como el denominador no es $0$ para $u \to 0$, podemos multiplicar la ecuación por él:

$$(3+3u+u^2)y''+(3+6u+4u^2+u^3) y'+y=0$$

Ahora buscamos la solución en la forma:

$$y=\sum_{n=0}^\infty a_n u^n$$

La sustitución nos da la siguiente recurrencia:

$$3n(n-1)a_n+3(n-1)^2 a_{n-1} +(n^2+n-5) a_{n-2}+4(n-3)a_{n-3}+(n-4)a_{n-4}=0 \tag{2}$$

$$n \geq 4$$

A partir de condiciones iniciales y ecuaciones apropiadas para términos iniciales, podemos ver que:

$$a_0=0$$

$$a_1=1$$

$$a_2=-\frac12$$

$$a_3=-\frac{1}{18}$$

Ahora podemos usar la recurrencia (2) para obtener cada otro coeficiente:

$$a_4=\frac{5}{36}$$

$$\cdots$$

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Podemos volver a $x(t)$ escribiendo:

$$x=\sum_{n=0}^\infty a_n (t-1)^n$$