si queremos configurar la topología en un grupo como ese, es importante?

Question

Deje $G$ ser un grupo y $\omega$ ser el conjunto de todos los subgrupos de $G$.

Desde $\omega$ es cerrado bajo intersección, es trivial comprobar que $\omega$ satisface las condiciones para ser una base.

Por lo tanto,Vamos a $T$ ser la topología en $G$ inducida por $\omega$.

Una observación trivial es que cada subgrupo de $G$ está abierto en esta topología y cada automorphism de $G$ también está continuamente bajo esta topología desde el inverso de "subgrupos" son "subgrupos"y también lo son los sindicatos, los cuales son realmente interesantes para mí.

Me pregunto si esta topología tiene importancia en términos de "Topología" o "Teoría de grupos", cualquier observación o comentario es bienvenido.

Answer 1

Lo siento si mi respuesta viene tan tarde, espero que usted todavía está interesado en la pregunta que usted plantea.

No creo que la topología de la que usted propone es de mucho interés, principalmente por las siguientes dos razones:

1. Como Mike F notado en los comentarios, la topología no es muy bien portado, en el sentido de que en general no es Hausdorff ($T_2$). Como se puede notar, de hecho ni siquiera es la prueba de Kolmogorov ($T_0$), que en realidad es el más débil de la separación de la propiedad hay. Por ejemplo, si pones $G=\mathbb{Z}$, entonces los elementos de a $1$ $-1$ no pueden ser separados (en el $T_0$ sentido).
2. La topología que se comporta mal con respecto a la estructura de grupo, en el sentido de que, en general, la multiplicación de no ser continua. De hecho, si $m:G\times G\to G$ denota la multiplicación, a continuación,$m^{-1}(\{e\})=\bigcup_{g\in G}(g,g^{-1})$, que no es normalmente abierto (prueba por ejemplo con $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$).