Me preguntaba si hay alguna manera de evaluar una solución general en forma cerrada a la siguiente integral para todo $n\in \mathbb{N}$. $$I_n=\int_0^{\pi/2} \underbrace{\cos(\cos(\cos(\dots(\cos}_{n \text{ veces}}(x))\dots)))~dx \tag{1}$$
Ya he evaluado formas cerradas de esta integral para ciertos valores de $n$, sin embargo aún me falta una forma cerrada para un gran número de valores de $n$. Aquellos en $\color{red}{\text{rojo}}$ los evalué numéricamente, lo que significa que actualmente no tengo una forma cerrada para ellos. $$\begin{array}{c|c}n&I_n\\\hline0&\dfrac{\pi^2}{8}\\1&1\\2&\dfrac{\pi J_0(1)}{2}\\\color{red}{3}&\color{red}{\approx 1.11805}\\\color{red}{4}&\color{red}{\approx 1.18186} \\ \color{red}{5} & \color{red}{\approx 1.14376} \\ \color{red}{6}&\color{red}{\approx 1.17102}\\\color{red}{\vdots}&\color{red}{\vdots}\\\infty&\alpha\cdot \dfrac{\pi}{2} \approx 1.16095\end{array}$$ Donde $J_p(\cdot )$ es la función Bessel de primer tipo, y $\alpha$ es el Número de Dottie. Los casos $n=0$ y $n=1$ son triviales, por lo tanto no mostraré cómo obtuve estas soluciones. A continuación mostraré cómo obtuve el caso donde $n=2$ y $n\to \infty$.
Evaluando $I_2$: es decir, $\int_0^{\pi/2} \cos(\cos(x))~dx$.
Introduciendo la definición de la Función Bessel de primer tipo: $$J_{\beta}(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \cos(z\sin{\theta}-\beta \theta)~d\theta$$ Podemos usar la sustitución $\theta=u+\frac{\pi}{2}$ para obtener:
$$\begin{align} J_{\beta}(z)&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\left(z\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)-\beta\left(u+\frac{\pi}{2}\right)\right)~du\\&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\left(z\cos(u)-\beta\left(u+\frac{\pi}{2}\right)\right)~du \end{align}$$ Para llevarlo a una forma similar a nuestro caso, observa que podemos dejar $\beta=0$ y $z=1$. Por lo tanto: $$J_0(1)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\cos(u))~du$$ A primera vista, puede parecer que los límites son problemáticos. Sin embargo, nota que $f(x)=\cos(\cos(x))$ es una función par, por lo tanto sabemos que: $$J_0(1)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} \cos(\cos(u))~du \iff \int_0^{\pi/2} \cos(\cos(u))~du=\frac{\pi J_0(1)}{2}$$
Evaluando $\lim\limits_{n\to \infty} I_n$:
Me di cuenta de que a medida que $n\to \infty$, la función integrada convergerá a una función constante para todo $x\in \mathbb{R}$, como se muestra a continuación. Las curvas azul, amarilla, verde y roja son cuando $n=1,2,5,10$ respectivamente.
Pensé que podíamos representar la composición repetida de funciones por la recurrencia siguiente $x_{n+1}=\cos(x_n)$. Usando los principios de la iteración de punto fijo, sabemos entonces que el valor al que tiende es la solución única a $x=\cos(x)$. Resulta ser el Número de Dottie, que evalué numéricamente usando el Método de Newton-Raphson y denoté este valor como $\alpha$. Obtengo: $$\alpha\approx 0.739085133215161$$ Por lo tanto: $$\lim_{n\to \infty} I_n=\int_0^{\pi/2}\cos(\cos(\cos(\dots(\cos(x))\dots)))~dx=\alpha\cdot \frac{\pi}{2} \approx 1.160952212443092$$
Como mencioné, no estoy seguro de cómo evaluar formas cerradas para los casos cuando $n\geq 3$. He revisado algunas otras definiciones como la función Struve $\mathbf{H}_{\gamma}(\cdot)$, aunque solo parece ser útil al evaluar $\int_0^{\pi/2} \sin(\sin(x))~dx$, que no es la integral que estamos considerando. Por lo tanto, apreciaría alguna orientación sobre cómo evaluar una forma cerrada general para $(1)$ para todo $n\in \mathbb{N}$, si es posible.
