Una pregunta sobre la reversibilidad de una matriz

Question

Suponga que $A$ y $B$ son matrices diferentes de $n \times n$ con $A^3B^3, AB^2B^2A$. La pregunta es si $A^2B^2$ es invertible o no.

Intenté $$(A^2B^2)(A-B)A^3-B^3B^2A-A^2BB^2A-A^2B$$, pero la suposición es $B^2AAB^2$, así que no sé qué hacer a continuación.

Espero tu ayuda. Gracias.

Answer 1

Suponemos que $A, B \in M_n(\mathbb{C}),A^3=B^3,AB^2=B^2A$.

$\textbf{Proposición}$. Cuando $B$ es invertible (entonces también lo es $A$), $A, B$ son simultáneamente triangularizables.

$\textbf{Prueba}$. Dado que $AB^2=B^2A$, $A, B^2$ son simultáneamente triangularizables: $A=PUP^{-1},B^2=PVP^{-1}$ donde $U, V$ son matrices triangulares superiores. Entonces $B=PU^3V^{-1}P^{-1}$, donde $U^3V^{-1}$ es triangular. $\square$

En lo que sigue, asumimos que $A, B$ son invertibles.

De acuerdo con la proposición anterior, si $spectrum(A)=(\lambda_j)_j$, entonces hay un orden $(\mu_j)_j$ del espectro de $B$ tal que ${\lambda_j}^3={\mu_j}^3$ y $\det(A^2+B^2)=\Pi_j({\lambda_j}^2+{\mu_j}^2)$; concluimos que $A^2+B^2$ es invertible.

Answer 2

Sea $A=0$, $B$ sea nilpotente de índice $2$, es decir, $B^2=0, B\neq0$. Entonces $A\neq B$, $A^3=0=B^3$ y $AB^2=0=B^2A$, pero $A^2+B^2=0$, lo cual no es invertible.